Question

7．（1）如图（1）点P是正方形ABCD的边CD上一点（点P与点C，D不重合），点E在BC的延长线上，且CE=CP，连接BP，DE．求证：△BCP≌△DCE；
（2）直线EP交AD于F，连接BF，FC．点G是FC与BP的交点．若CD=2PC时，求证：BP⊥CF．

Answer 1

分析 （1）利用SAS，证明△BCP≌△DCE；
（2）在（1）的基础上，再证明△BCP≌△CDF，进而得到∠FCD+∠BPC=90°，从而证明BP⊥CF．

解答 证明：（1）在△BCP与△DCE中，
$\left\{\begin{array}{l}{BC=CD}\\{∠BCP=∠DCE=90°}\\{CP=CE}\end{array}\right.$，
∴△BCP≌△DCE（SAS）．
（2）∵CP=CE，∠PCE=90°，
∴∠CPE=45°，
∴∠FPD=∠CPE=45°，
∴∠PFD=45°，
∴FD=DP．
∵CD=2PC，
∴DP=CP，
∴FD=CP．
在△BCP与△CDF中，
$\left\{\begin{array}{l}{BC=CD}\\{∠BCP=∠CDF=90°}\\{CP=FD}\end{array}\right.$，
∴△BCP≌△CDF（SAS）．
∴∠FCD=∠CBP，
∵∠CBP+∠BPC=90°，
∴∠FCD+∠BPC=90°，
∴∠PGC=90°，即BP⊥CF．

点评 本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质，关键是利用SAS，证明△BCP≌△DCE．