【题目】魔术大师夏尔巴比耶90岁时定义了一个魔法三角阵,三角阵中含有四个区域(三个“边区域”和一个“核心区域”,如图1中的阴影部分),每个区域都含有5个数,把差相同的连续九个正整数填进三角阵中,每个区域的5个数的和必须相同。例如:图2中,把相差为1的九个数(1至9)填入后,三个“边区域”及“核心区域”的数的和都是22,即6+1+9+2+4=22,4+2+8+3+5=22,5+3+7+1+6=22,2+9+1+7+3=22
(1)操作与发现:
在图3中,小明把差为1的连续九个正整数(1至9)分为三组,其中1、2、3为同一组,4、5、6为同一组,7、8、9为同一组,把同组数填进同一花纹的△中,生成了一个符合定义的魔法三角阵,且各区域的5个数的和为28,请你在图3中把小明的发现填写完整.
(2)操作与应用:
根据(1)发现的结果,把差为8的连续九个正整数填进图4中,仍能得到符合定义的魔法三角阵,且各区域的5个数的和为2019.
①设其中最小的数为,则最大的数是_________;(用含的式子表示).
②把图4中的9个数填写完整,并说明理由.
【答案】(1)答案见解析;(2)①;②答案见解析,理由见解析.
【解析】
(1)首先确定三角形顶点的三个数,再进一步间隔确定,再做局部调整即可解答;
(2)①根据题意具体表示出前几个数字,然后推广到一般情形,发现规律解决问题;
②根据(1)的提示,可设这9个数为: ,,再根据(1)填出的数据,可以顺序填上对应的位置,按照核心区域相加得2019列出方程,解得对应的数.
(1)或
或
(2)①解:由题意可知,连续九个正整数的差为8,
设其中最小的数为,
则第二个数为,
第三个数为
…
以此类推,
第九个数为,
所以最大数是.
②
理由:根据(1)的提示,可设这9个数为: ,,按照核心区域相加得2019可以列出方程:
,解得:,
所以这9个数为:367,375,383,391,399,407,415,423,431.
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【题目】在△ABC中,BC=AC,∠BCA=90°,P为直线AC上一点,过点A作AD⊥BP于点D,交直线BC于点Q.
(1)如图1,当P在线段AC上时,求证:BP=AQ;
(2)如图2,当P在线段CA的延长线上时,(1)中的结论是否成立? (填“成立”或“不成立”)
(3)在(2)的条件下,当∠DBA= 度时,存在AQ=2BD,说明理由.
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【题目】如图,在等边△ABC中,点D,E分别在边BC,AC上,且DE∥AB,过点E作EF⊥DE,交BC的延长线于点F.
(1)求∠F的大小;
(2)若CD=3,求DF的长.
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【题目】(1)阅读理解:如图1是二环三角形,可得S=∠A1+∠A2+…+∠A6=360°
理由:连接A1A4
∵∠1+∠2+∠A1OA4=180°
∠A5+∠A6+∠A5OA6=180°
又∵∠A1OA4=∠A5OA6
∴∠1+∠2=∠A5+∠A6
∴∠A2+∠3+∠1+∠2+∠4+∠A3=360°
∴∠A2+∠3+∠A5+∠A6+∠4+∠A3=360°
即S=360°
(2)延伸探究:
①如图2是二环四边形,可得S=∠A1+∠A2+…+∠A8=720°,请你加以证明
②如图3是二环五边形,可得S= ,聪明的你,能根据以上的规律直接写出二环n边形(n≥3的整数)中,S= 度.(用含n的代数式表示最后的结果)
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【题目】如图:在数轴上点表示数,点示数,点表示数,是最小的正整数,且、满足.
(1)= ,= ,= ;
(2)若将数轴折叠,使得A点与C点重合,则点B与数 表示的点重合;
(3)点、、开始在数轴上运动,若点以每秒个单位长度的速度向左运动,同时,点和点分别以每秒个单位长度和个单位长度的速度向右运动,假设秒钟过后,若点与点之间的距离表示为,点与点之间的距离表示为,那么的值是否随着时间的变化而改变?若变化,请说明理由;若不变,请求其值.
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【题目】二次函数的部分图象如图,图象过点(﹣1,0),对称轴为直线,下列结论:①;②;③;④当时, 随的增大而增大.其中正确的结论有( )
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
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【题目】随着新能源汽车推广力度加大,产业快速发展,越来越多的消费者接受并购买新能源汽车。我市某品牌新能源汽车经销商1月至3月份统计,该品牌汽车1月份销售150辆,3月份销售216辆.
(1)求该品牌新能源汽车销售量的月均增长率;
(2)若该品牌新能源汽车的进价为52000元,售价为58000元,则该经销商1月至3月份共盈利多少元?
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【题目】如图,Rt△ABC中,∠ABC=90°,点D,F分别是AC,AB的中点,CE∥DB,BE∥DC.
(1)求证:四边形DBEC是菱形;
(2)若AD=3,DF=1,求四边形DBEC面积.
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【题目】已知:关于x、y的方程组的解为非负数.
(1)求a的取值范围;
(2)化简|2a+4|﹣|a﹣1|;
(3)在a的取值范围内,a为何整数时,使得2ax+3x<2a+3解集为x>1.
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