Question

15．如图，在正方形ABCD中，△BCE是等边三角形，连接BD交CE于点M，若AB=$\sqrt{3}$，则EM的长为（　　）

• A． 3-$\sqrt{3}$
• B． 2$\sqrt{3}$-3
• C． 2-$\sqrt{3}$
• D． $\sqrt{3}$-1

Answer 1

分析 作MN⊥BC于N，则∠MNC=∠MNB=90°，由正方形和等边三角形的性质得出EC=BC=AB=$\sqrt{3}$，∠CBD=45°，∠MCN=60°，得出△BMN是等腰直角三角形，∠CMN=30°，因此BN=MN，设CN=x，则CM=2CN=2x，BN=MN=$\sqrt{3}$x，得出BC=$\sqrt{3}$x+x=$\sqrt{3}$，解方程求出CM，即可得出EM的长．

解答 解：作MN⊥BC于N，如图所示：
则∠MNC=∠MNB=90°，
∵四边形ABCD是正方形，△BCE是等边三角形，
∴EC=BC=AB=$\sqrt{3}$，∠CBD=45°，∠MCN=60°，
∴△BMN是等腰直角三角形，∠CMN=30°，
∴BN=MN，
设CN=x，则CM=2CN=2x，BN=MN=$\sqrt{3}$x，
∴BC=$\sqrt{3}$x+x=$\sqrt{3}$，
解得：x=$\frac{3-\sqrt{3}}{2}$，
∴CM=3-$\sqrt{3}$，
∴EM=CE-CM=$\sqrt{3}$-（3-$\sqrt{3}$）=2$\sqrt{3}$-3．
故选：B．

点评 本题考查了正方形的性质、等边三角形的性质、等腰直角三角形的判定与性质、含30°角的直角三角形的性质、勾股定理等知识；熟练掌握正方形和等边三角形的性质，通过设未知数得出方程是解决问题的关键．