Question

20．如图，一个正多边形的半径为$\sqrt{2}$，边心距为1，求该正多边形的中心角、边长、内角、周长和面积．

Answer 1

分析 连接OB，由三角函数求出∠OAM=45°，由等腰三角形的性质和三角形内角和定理得出∠AOB=90°，由$\frac{360°}{90°}$=4，得出正多边形为正方形，由正方形的性质即可得出边长、内角、周长和面积．

解答 解：连接OB，如图所示：
∵sin∠OAM=$\frac{OM}{OA}$=$\frac{1}{\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴∠OAM=45°，
∵OA=OB，
∴∠B=∠OAM=45°，
∴中心角∠AOB=90°，
∵$\frac{360°}{90°}$=4，
∴正多边形为正方形，
∴AM=BM=OM=1，
∴边长AB=2，
∴正多边形的内角为90°，周长=4AB=8，正多边形的面积=AB²=4．

点评 本题考查了正多边形和圆、三角函数、正多边形的有关计算；根据题意求出正多边形是正方形是解决问题的关键．