Question

12．有一长方体纸盒，如图所示小明所在的数学兴趣小组研究由长方体的底面A点到长方体中与A点相对的B点最短距离．若长方体的底面边长AC为12．宽CE为9．高CD为7，请你帮助该小组计算出由A到B的最短路线．

Answer 1

分析 分为三种情况展开，根据勾股定理求出线段AB的长度，再进行比较即可．

解答 解：①如图1，展开后连接AB，则AB就是在表面上A到B的最短距离，

∠AEB=90°，AE=12+9=21，BE=7，
在Rt△AEB中，由勾股定理得：AB=$\sqrt{A{E}^{2}+B{E}^{2}}$=$\sqrt{2{1}^{2}+{7}^{2}}$=$\sqrt{490}$=7$\sqrt{10}$；
②如图2，展开后连接AB，则AB就是在表面上A到B的最短距离，

∠ACB=90°，AC=12，BC=9+7=16，
在Rt△ACB中，由勾股定理得：AB=$\sqrt{A{C}^{2}+C{B}^{2}}$=$\sqrt{1{2}^{2}+1{6}^{2}}$=$\sqrt{400}$=20；
③如图3，展开后连接AB，则AB就是在表面上A到B的最短距离，

∠ADB=90°，AD=7+12=19，BD=9，
在Rt△ADB中，由勾股定理得：AB=$\sqrt{A{D}^{2}+B{D}^{2}}$=$\sqrt{1{9}^{2}+{9}^{2}}$=$\sqrt{442}$．
∵400＜442＜490，
∴20$＜\sqrt{442}＜\sqrt{490}$．
所以由A到B的最短路线为如2所示的路线．

点评 本题考查了平面展开-最短路线问题和勾股定理等知识点，关键是能画出展开图形并能求出符合条件的最短路线．