Question

4．已知关于x的方程mx²-（m+2）x+2=0（m≠0）．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）已知方程有两个不相等的实数根α，β，满足$\frac{1}{α}$+$\frac{1}{β}$=1，求m的值．

Answer 1

分析 （1）m≠0时是一元二次方程，求得方程根的判别式，证明其总大于或等于0即可；
（2）利用根与系数的关系分别求得αβ和α+β，代入可得到关于m的方程，求其即可．

解答 （1）证明：∵方程mx²-（m+2）x+2=0（m≠0）是一元二次方程，
∴△=（m+2）²-8m=m²+4m+4-8m=m²-4m+4=（m-2）²≥0，
∴方程总有两个实数根；

（2）解：∵方程有两个不相等的实数根α，β，
∴由根与系数的关系可得α+β=$\frac{m+2}{m}$，αβ=$\frac{2}{m}$，
∵$\frac{1}{α}$+$\frac{1}{β}$=1，
∴$\frac{\frac{m+2}{m}}{\frac{2}{m}}$=$\frac{m+2}{2}$=1，
解得m=0，
∵m≠0，
∴m无解．

点评 本题主要考查一元二次方程根的判别及根与系数的关系，掌握一元二次方程根的判别式与根的情况是解题的关键．