Question

9．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A（10，0），C（0，8），现将矩形OABC沿直线CD折叠，使点B落在x轴上的E处．
（1）若P是线段CD上一动点，求PO+PE的最小值；
（2）求直线CD的解析式．

Answer 1

分析 （1）根据轴对称变换的性质得到点B与点E关于直线CD对称，则OB即为PO+PE的最小值；
（2）AD=x，根据勾股定理求出x的值，得到点D的坐标，根据待定系数法求出函数解析式．

解答 解：（1）∵矩形OABC沿直线CD折叠，点B与点E重合，
∴点B与点E关于直线CD对称，
∴连接OB与CD交于点P，则PO+PE的最小，
由题意得，OC=8，BC=10，
根据勾股定理得，OB=2$\sqrt{41}$；
（2）由折叠的性质可知，CE=BC=10，
∴OE=$\sqrt{C{E}^{2}-O{C}^{2}}$=6，
∴A=10-6=4，
设AD=x，则DE=BD=8-x，
（8-x）²=x²+4²，
解得，x=3，
∴点D的坐标为$\left\{\begin{array}{l}{b=8}\\{10k+b=3}\end{array}\right.$（10，3），
设直线CD的解析式为y=kx+b，
则$\left\{\begin{array}{l}{b=8}\\{10k+b=3}\end{array}\right.$，
解得，k=-$\frac{1}{2}$，b=8，
∴直线CD的解析式为y=-$\frac{1}{2}$x+8．

点评 本题考查的是翻折变换的性质、轴对称变换和待定系数法求函数解析式，掌握轴对称变换和翻折变换的性质是解题的关键．