Question

14．如图1，在直角坐标系中，A（0，a），C（c，0），其中a，c满足c=$\frac{\sqrt{{a}^{2}-4}+\sqrt{4-{a}^{2}}+24}{a+2}$，过A作AB⊥AC，且AB=AC．
（1）求B点坐标；
（2）如图1，AB交x轴于E，在x轴上存在点D，使△AED为等腰三角形，求D点坐标；
（3）如图2，B，E关于y轴对称，A，F关于x轴对称，连CF，AE交于M，连BE交y轴于H，连MH，求∠HMF的度数；
（4）如图3，连BC，交y轴于G，N为BC中点，求$\frac{NC}{NG}$的值．

Answer 1

分析 （1）根据题意求得a=2，c=6，从而求得A、C的坐标，然后证得△AOC≌△BDA，求得BD=OA=2，AD=OC=6，从而求得B的坐标；
（2）分三种情况分别讨论即可求得；
（3）根据题意得出△AOC≌△FOC≌△BHA≌△EHA，得出AF=BE=4，从而得出FH=EH=2，连接EF，则∠HEF=45°，根据∠OCF+∠AFC=90°，∠HAE=∠OCF，得出∠AMF=90°，进而证得E、M、F、H四点在以EF为直径的圆上，根据圆周角定理即可证得∠HMF=∠FEH=45°；
（4）根据已知易证△ABC是等腰直角三角形，进而就可求得AB=AC=2$\sqrt{10}$，得出BC=4$\sqrt{5}$，根据等腰直角三角形的性质求得AN=BN=CN=2$\sqrt{5}$，作BD⊥y轴于D，则BD∥OC，得出$\frac{BD}{OC}$=$\frac{BG}{CG}$，求得$\frac{BG}{CG}$=$\frac{1}{3}$，即可求得NG=$\sqrt{5}$，继而求得$\frac{NC}{NG}$的值．

解答 解：（1）根据题意，a²-4≥0且4-a²≥0，
解得a≥2且a≤2，
所以，a=2，
c=$\frac{\sqrt{{a}^{2}-4}+\sqrt{4-{a}^{2}}+24}{a+2}$=6，
∴点A（0，2），C（6，0），
∴OA=2，OC=6，
如图1，过点B作BD⊥y轴于点D，
∵∠BAD+∠CAO=90°，∠ACO+∠CAO=90°，
∴∠ACO=∠BAD，
在△AOC和△BDA中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ACO=∠BAD}\\{∠AOC=∠ADB=90°}\\{AB=AC}\end{array}\right.$，
∴△AOC≌△BDA（AAS），
∴BD=OA=2，AD=OC=6，
∴OD=AD-OA=6-2=4，
∴点B的坐标为（-2，-4）；
（2）第一种情况如图2，当AE=AD时，

∵AO=2，AD=6，BD=2，
∴$\frac{OE}{BD}$=$\frac{AO}{AD}$，解得OE=$\frac{2}{3}$，
∴OD=$\frac{2}{3}$，
∴D（$\frac{2}{3}$，0）
第二种情况，如图3，当AD=ED时，

设OD=x，可得$\sqrt{{x}^{2}+{2}^{2}}$=$\frac{2}{3}$+x，解得x=$\frac{8}{3}$，
∴D（$\frac{8}{3}$，0）
第三种情况，如图4，当AE=DE时，

∵AE=$\sqrt{A{O}^{2}+O{E}^{2}}$=$\sqrt{{2}^{2}+（\frac{2}{3}）^{2}}$=$\frac{2\sqrt{10}}{3}$，
∴OD=$\frac{2}{3}$+$\frac{2\sqrt{10}}{3}$，
∴D（$\frac{2}{3}$+$\frac{2\sqrt{10}}{3}$，0）；
（3）如图5，∵B，E关于y轴对称，A，F关于x轴对称，
∴△AOC≌△FOC，△BHA≌△EHA，
∵△AOC≌△BHA，
∴△EHA≌△FOC，
∴EH=OF=OA=BH=2，∠HAE=∠OCF，
∵OH=4，
∴FH=2，
∴FH=EH=2，
∴∠FEH=45°，
∵∠OCF+∠AFC=90°，∠HAE=∠OCF，
∴∠HAE+∠AFC=90°，
∴∠AMF=90°，
∵∠AHE=90°，
∴E、M、F、H四点在以EF为直径的圆上，
∴∠HMF=∠FEH=45°；
（4）如图6，∵AB⊥AC，且AB=AC．
∴△ABC是等腰直角三角形，AB=AC=$\sqrt{{2}^{2}+{6}^{2}}$=2$\sqrt{10}$
∴BC=$\sqrt{2}$AC=4$\sqrt{5}$，
∵N为BC中点，
∴AN⊥BC，AN=BN=NC=$\frac{1}{2}$BC=2$\sqrt{5}$，
作BD⊥y轴于D，则BD∥OC，
∴$\frac{BD}{OC}$=$\frac{BG}{CG}$，
∵BD=2，OC=6，
∴$\frac{BG}{CG}$=$\frac{1}{3}$，
∴BG=$\frac{1}{4}$BC=$\sqrt{5}$，
∴NG=2$\sqrt{5}$-$\sqrt{5}$=$\sqrt{5}$，
∴$\frac{NC}{NG}$=$\frac{2\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$=2．

点评 本题是一次函数的综合题，考查了三角形全等的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，三角形相似的判定和性质勾股定理的应用等，分类讨论思想的运用是解题的关键．