Question

19．如图，平行四边形ABCD中，对角线AC⊥BC，BE平分∠ABC，交CD于点E，且与AC交于点F．过点C作CG1AB于点G，CG与BE交于点H，点I在线段AC上，且HI∥AB．求证：
（1）△BCH≌△ECF；
（2）AI=FC．

Answer 1

分析 （1）由平行四边形的性质和角平分线的定义得出∠CBE=∠BEC，得出BC=CE，由ASA证明△BCH≌△ECF即可；
（2）由全等三角形的性质得出BH=EF，由平行线得出比例式，即可得出结论．

解答 证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠ABE=∠BEC，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠CBE，
∴∠CBE=∠BEC，
∴BC=CE，
∵CG⊥AB，
∴CG⊥CD，
∴∠GCE=90°，
∵AC⊥BC，
∴∠ACB=90°，
∴∠BCH=∠ECF，
在△BCH和△ECF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BCH=∠ECF}&{\;}\\{BC=EC}&{\;}\\{∠CBE=∠BEC}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△BCH≌△ECF（ASA）；
（2）∵△BCH≌△ECF，
∴BH=EF，
∵HI∥AB．
∴$\frac{AI}{AF}=\frac{BH}{BF}$，
∵AB∥CD，
∴HI∥CD，
∴$\frac{FC}{AF}=\frac{EF}{BF}$，
∴$\frac{AI}{AF}=\frac{FC}{AF}$，
∴AI=FC．

点评 本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、平行线分线段成比例定理、等腰三角形的判定；熟练掌握平行四边形的性质，并能进行推理论证是解决问题的关键．