Question

2．菱形ABCD中，∠BAD=72°，AC，BD为对角线，E、F分别为AD，CD边上的点，∠ABE=∠CBF=36°，AC与BE，BF交于点M，点N，则下列结论：①AM=BN；②EF⊥BD；③△ABN≌△BEF；④$\frac{DE}{BN}$=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，其中正确结论的个数是（　　）

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 由菱形的性质得出∠BCD=∠BAD=72°，∠BAM=∠BCA=∠ACD=$\frac{1}{2}$∠BAD=36°，证出∠BAM=∠ABE=36°，得出AM=BM，再证出BN=BM，得出①正确；
由菱形的性质得出点F、F关于BD对称，得出BE=BF，DE=DF，由等腰三角形的三线合一性质得出EF⊥BD，②正确；
证出AB=AN，由SAS证明△ABN≌△BEF，得出③正确；
证出BN=CN=CF，再证明△BCF∽△CFN，得出比例式，得出BN²=CF²=BC•FN，N是BF的黄金分割点，得出F是CD的黄金分割点，CF²=DF•CD，得出$\frac{DF}{CF}=\frac{CF}{CD}$=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，即可得出④正确．

解答 解：∵四边形ABCD是菱形，
∴∠BCD=∠BAD=72°，∠BAM=∠BCA=∠ACD=$\frac{1}{2}$∠BAD=36°，
∵∠ABE=∠CBF=36°，
∴∠BAM=∠ABE=36°，
∴AM=BM，∠BMN=36°+36°=72°，∠BNM=36°+36°=72°，
∴∠BMN=∠BNM，
∴BN=BM，
∴AM=BN，
①正确；
∵菱形ABCD是轴对称图形，∠ABE=∠CBF=36°，
∴点F、F关于BD对称，
∴BE=BF，DE=DF，
∵∠ABD=∠CBD，
∴∠EBD=∠FBD，
∴EF⊥BD（三线合一），
②正确；
∵∠ABN=180°-36°-72°=72°=∠BNM，
∴AB=AN，
∵AC⊥BD，
∴∠AOB=90°，
∴∠ABO=90°-36°=54°，
∴∠EBD=54°-36°=18°，
∴∠EBF=2∠EBD=36°，
在△ABN和△BEF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=BE}&{\;}\\{∠BAN=∠EBF}&{\;}\\{AN=BF}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ABN≌△BEF（SAS），
③正确；
∵∠BFC=180°-72°-36°=72°=∠BCF，
∴BF=BC，
同理：CN=CF，BN=CN，
∴BN=CN=CF，
∵∠NCF=∠CBF=36°，
∴△BCF∽△CFN，
∴$\frac{CF}{FN}=\frac{BC}{CF}$，
∴BN²=CF²=BC•FN，
即N是BF的黄金分割点，
∵BF=BC=CF，CF=BN，
∴F是CD的黄金分割点，
∴CF²=DF•CD，
∴$\frac{DF}{CF}=\frac{CF}{CD}$=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，
∴$\frac{DE}{BN}$=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，
④正确；
正确的个数有4个．
故选：D．

点评 本题考查了菱形的性质、全等三角形的判定、等腰三角形的判定、相似三角形的判定与性质；本题综合性强，有一定难度．