Question

9．P、Q是△ABC的边BC上两点，且BP=QC=AP=AQ．
（1）若∠B=25°，求∠PAQ的度数；
（2）若∠BAC=120°，小玉说△APQ一定是等边三角形．你能帮她证明吗？

Answer 1

分析 （1）根据等腰三角形的性质得到∠BAP=∠B，∠QAC=∠C，∠APQ=∠AQP，由三角形的外角的性质得到∠APQ=∠B+∠BAP，∠AQP=∠QAC+∠C，即可得到结论；
（2）由三角形的内角和得到∠B+∠C=60°，由（1）证得∠BAP=∠B，∠QAC=∠C，于是得到∠PAQ=120°-60°=60°，即可得到结论．

解答 解：（1）∵BP=QC=AP=AQ，
∴∠BAP=∠B，∠QAC=∠C，∠APQ=∠AQP，
∵∠APQ=∠B+∠BAP，∠AQP=∠QAC+∠C，
∴∠C=∠CAQ=∠BAP=∠B=25°，
∴∠PAQ=180°-4×25°=80°；

（2）∵∠BAC=120°，
∴∠B+∠C=60°，
由（1）证得∠BAP=∠B，∠QAC=∠C，
∴∠BAP+∠QAC=60°，
∴∠PAQ=120°-60°=60°，
∵AP=AQ，
∴△AQP是等边三角形．

点评 本题考查了等腰三角形的性质，等边三角形的判定，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．