Question

【题目】如图，在矩形ABCD中，BC＝20cm，P、Q、M、N分别从A、B、C、D出发沿AD、BC、CB、DA方向在矩形的边上同时运动，当有一个点先到达所在运动边的另一个端点时即停止．已知在相同时间内，若BQ＝xcm（x≠0），则AP＝2xcm，CM＝3xcm，DN＝x2cm．

（Ⅰ）当x为何值时，AP、ND长度相等？

（Ⅱ）当x为何值时，以PQ、MN为两边，以矩形的边（AD或BC）的一部分为第三边能构成一个三角形？

（Ⅲ）当x为何值时，以P、Q、M、N为顶点的四边形是平行四边形？

Answer 1

【答案】（Ⅰ）当x为2时，AP、ND长度相等；（Ⅱ）当x为时，以PQ、MN为两边，以矩形的边（AD或BC）的一部分为第三边能构成一个三角形；（Ⅲ）当x＝2或x＝4时，以P、Q、M、N为顶点的四边形是平行四边形．

【解析】

(Ⅰ)由题意得出方程，解方程即可；

(Ⅱ)分点P与点N重合或点Q与点M重合两种情况，由题意得出方程，解方程即可；

(Ⅲ) 把P、N两点分两种情况讨论，点P在点N的左侧或点P在点N的右侧，进一步利用平行四边形的性质联立方程解答即可．

(Ⅰ)∵，

∴AP=ND时，即，

解得：或(舍去)，

∴当为2时，AP、ND长度相等；

(Ⅱ)当点P与点N重合或点Q与点M重合时，以PQ，MN为两边，以矩形的边(AD或BC)的一部分为第三边可能构成一个三角形，

①当点P与点N重合时，

由题意得：，

解得： (舍去)，

∵，此时点Q与点M不重合，

∴符合题意；

②当点Q与点M重合时，

由题意得：，

解得：，

此时，不符合题意，

∴点Q与点M不能重合．

综上所述，所求的值为：；

(Ⅲ)∵当N点到达A点时，，此时M点和Q点还未相遇，

∴点Q只能在点M的左侧，

①当点P在点N的左侧时，如图1所示：

由题意得：，

解得： (舍去)，，

当时四边形PQMN是平行四边形；

②当点P在点N的右侧时，如图2所示：

由题意得：，

解得：(舍去)，，

当时，四边形NQMP是平行四边形；

综上所述，当或时，以P，Q，M，N为顶点的四边形是平行四边形．