Question

如图1，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足为E，连接DE，F为线段DE上一点，且∠AFE=∠B．
（1）求证：△ADF∽△DEC．
（2）若AB=5，AD=3

3

，AE=3，求AF的长．
（3）在（2）的条件下，建立如图2所示的直角坐标系，在x轴上是否存在一点P，（P点不与B、C重合），使得由点P、A、E组成的三角形与△ABE相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：相似形综合题

专题：

分析：（1）由平行四边形的性质可得到∠B+∠C=180°，而∠AFE+∠AFD=180°，结合条件可知∠AFD=∠C，由AD∥BC可得∠ADF=∠DEC，可证得△ADF∽△DEC；
（2）在Rt△ABE中可求得BE，则可求出EC，再利用（1）中相似可得到对应边成比例，代入可求得AF；
（3）设P点坐标为（x，0），则有△PAE∽△BAE或△PAE∽△ABE，再利用相似比得到关于x的方程，求出x并进行检验可得出点P的坐标．

解答：（1）证明：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB∥CD，AD∥BC，
∴∠ADF=∠DEC，∠B+∠C=180°，
∵∠AFE=∠B，
∴∠AFE+∠C=180°，且∠AFE+∠AFD=180°，
∴∠AFD=∠C，
∴△ADF∽△DEC；
（2）解：∵AE⊥BC，
∴∠AEB=∠EAD=90°，AE=3，AD=3

3

在Rt△ADE中，可求得DE=6，
又∵四边形ABCD为平行四边形，∴CD=AB=5，
由（1）可知△ADF∽△DEC，
∴

AF

CD

=

AD

DE

，即

AF

5

=

3 3

6

，
解得AF=

5 3

2

；
（3）解：假设存在满足条件P点，设其坐标为（x，0），则PE=|x|，
由（2）可知AB=5，AE=3，在Rt△ABE中可求得BE=4，
∵∠AEB=90°，
∴∠AEP=∠AEB=90°，
∴△ABE和△APE相似只能有两种情况，即△PAE∽△BAE或△PAE∽△ABE，
当△PAE∽△BAE时，则有

PE

BE

=

AE

AE

=1，即PE=BE，
∴|x|=4，解得x=4或x=-4（与B重合，舍去），此时P点坐标为（4，0）；
当△PAE∽△ABE时，则有

PE

AE

=

AE

BE

，即

|x|

3

=

3

4

，可得|x|=

9

4

，解得x=

9

4

或x=-

9

4

，与B、C两点都不重合，
此时P点坐标为（

9

4

，0）或（-

9

4

，0）；
综上可知存在使由点P、A、E组成的三角形与△ABE相似的点P，其坐标为（4，0）或（

9

4

，0）或（-

9

4

，0）．

点评：本题主要考查相似三角形的判定和性质及下行四边形的性质、勾股定理等知识的综合应用，掌握相似三角形的判定方法是关键，注意角相等的寻找．在（3）中只知相似但没说对应关系，所以分两种情况讨论是解题的关键，注意利用线段长与点的坐标之间的关系．