Question

如图，把矩形纸片OABC放入直角坐标系中，是OA、OC分别落在x轴、y轴的正半轴上，连接AC将△ABC翻折，点B落在该坐标系平面内．设这个落点为点D，CD交x轴于E，已知CB=4，AB=2．
（1）求点E的坐标和△ACE的面积；
（2）求点D的坐标，并判断点（4，-2）是否在直线OD上，说明理由；
（3）点P（-1，n），△PDC为直角三角形，求点P的坐标．

Answer 1

考点：一次函数综合题

专题：

分析：（1）首先证明△ACE是等腰三角形，在直角△OCE中利用勾股定理即可求得OE的长，求得E的坐标，进而求得△ACE的面积；
（2）作DF⊥x轴于点F，根据△ADE的面积求得D的纵坐标，然后在直角△ADF中，利用勾股定理求得AF的长，从而求得OF，即可得到D的坐标，然后利用待定系数法求得直线CD的解析式，然后把点（4，-2）代入判断即可；
（3）分∠PCD和∠CDP以及∠CPD是直角，三种情况进行讨论，从而求解．

解答：解：（1）∵矩形OABC中，BC∥OA，
∴∠BCA=∠CAO，
又∵∠BCA=∠ACD，
∴∠ACD=∠CAO，
∴CE=AE，
设CE=AE=x，则OE=4-x，在直角△OCE中，OC²+OE²=CE²，则2²+（4-x）²=x²，
解得：x=

5

2

，
则OE=4-

5

2

=

3

2

，则E的坐标是（

3

2

，0）．
则S_△ACE=

1

2

×

5

2

×2=

5

2

；
（2）作DF⊥x轴于点F．
S_△ACD=S_△ABC=

1

2

×4×2=4，
则S_△ADE=4-

5

2

=

3

2

，
又∵S_△ADE=

1

2

AE•DF，则

1

2

×

5

2

•DF=

3

2

，
∴DF=

6

5

，
在直角△ADF中，AF=

AD2-DF2

=

22-( 6 5 )2

=

8

5

，
则OF=4-

8

5

=

12

5

，
则D的坐标是（

12

5

，-

6

5

），
设直线OD的解析式是y=kx，则

12

5

k=-

6

5

，解得：k=-

1

2

，
则直线OD的解析式是：y=-

1

2

x，
当x=4时，y=-2，则（4，-2）在直线OD上；
（3）当∠PCD是直角时，设PC的解析式是y=2x+a，把（0，2）代入解析式得：a=2，
则PC的解析式是y=2x+2，
当x=-1时，y=0，则P的坐标是（-1，0）；
当∠CDP是直角时，设DP的解析式是y=2x+b，把（

12

5

，-

6

5

）代入得：b=-6，
则直线PD的解析式是y=2x-6，
当x=-1时，y=-8，则P的坐标是（-1，-8）；
当∠CPD是直角时，设P的坐标是（-1，n），PC²=1+（2-n）²，CD²=（

12

5

）²+（-

6

5

-2）²=106，
PD²=（

12

5

+1）²+（-

6

5

-n）²，
∵PC²+PD²=CD²，
则1+（2-n）²+（

12

5

+1）²+（-

6

5

-n）²=106，
解得：n=

2±4 69

5

．
则P的坐标是（-1，

2+4 69

5

）或（-1，

2-4 69

5

）或（-1，-8）或（-1，0）．

点评：本题考查了待定系数法求函数的解析式，以及图形的折叠和勾股定理，正确进行讨论是关键．