Question

15．如图，平行四边形ABCD中，AC⊥AD，BE∥DF，若AD=5cm，CF=3cm，EF=2cm，则DF=5$\sqrt{2}$cm．

Answer 1

分析 根据平行四边形的性质，由AAS证△BEC≌△DFA，得出BE=DF，再由SAS证△AEB≌△CFD，得到AE=CF，然后根据勾股定理即可求出结果．

解答 解：?ABCD中，BE∥DF，
∴BC=AD，∠DFA=∠BEC，∠AEB=∠CFD，
又∵AC⊥AD，
∴∠ACB=∠CAD=90°，
在△BEC和△DFA中，
$\left\{\begin{array}{l}{BC=AD}\\{∠DFA=∠BEC}\\{∠ACB=∠CAD}\end{array}\right.$，
∴△BEC≌△DFA（AAS），
∴BE=DF，
∵BE∥DF，
∴∠BEC=∠AFD，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，∠BAE=∠DCF，
∴∠ABE=∠CDF，
在△AEB和△CFD中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=CD}\\{∠ABE=∠CDF}\\{BE=DF}\end{array}\right.$，
∴△AEB≌△CFD（SAS），
∴AE=CF=3cm，
又∵在Rt△FAD中，AF=AE+EF=3+2=5cm，AD=5cm，
∴根据勾股定理得DF=$\sqrt{A{F}^{2}+A{D}^{2}}$=$\sqrt{{5}^{2}+{5}^{2}}$5$\sqrt{2}$=5（cm）．
故答案为：5$\sqrt{2}$．

点评 本题考查平行四边形的性质、平行线的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解决问题的关键．