Question

9．如图，△ABC中，AB=AC=4$\sqrt{5}$，cosC=$\frac{\sqrt{5}}{5}$．
（1）动手操作：利用尺规作以AC为直径的⊙O，并标出⊙O与AB的交点D，与BC的交点E（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）求证：$\widehat{DE}$=$\widehat{CE}$．

Answer 1

分析 （1）利用尺规作图作出AC的垂直平分线，从而可得AC的中点，就是圆心，再以O为圆心，AO长为半径，从而作出圆；
（2）连接AE，根据等腰三角形的性质证明∠DAE=∠CAE，即可证得．

解答 解：（1）如图所示：

（2）如图，连接AE，
∵AC为直径，
∴∠AEC=90°，
∵AB=AC，
∴∠DAE=∠CAE，
∴$\widehat{DE}$=$\widehat{CE}$．

点评 此题主要考查了复杂作图，关键是正确作出AC的垂直平分线，确定圆心位置，掌握等腰三角形三线合一的性质．