Question

【题目】已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线，点E是AD上一点，过点B作BF∥EC，交AD的延长线于点F，连接BE，CF．

（1）求证：△BDF≌△CDE；

（2）当ED与BC满足什么数量关系时，四边形BECF是正方形？请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）当DE＝BC时，四边形BECF是正方形.

【解析】

（1）根据等腰三角形的性质得到BD=CD，根据全等三角形的判定定理即可得到结论；

（2）根据全等三角形的性质得到BF=CE，DE=DF，推出四边形BECF是平行四边形，得到四边形BECF是菱形，于是得到结论．

（1）证明：∵AD是BC边上的中线，AB＝AC，

∴BD＝CD，

∵BF∥EC，

∴∠DBF＝∠DCE，

∵∠BDF＝∠CDE，

∴△BDF≌△CDE（ASA）；

（2）解：当DE＝BC时，四边形BECF是正方形，

理由：∵△BDF≌△CDE，

∴BF＝CE，DE＝DF，

∵BF∥CE，

∴四边形BECF是平行四边形，

∵AB＝AC，AD是中线，

∴四边形BECF是菱形，

∵DE＝BC，DE＝DF＝EF，

∴EF＝BC，

∴四边形BECF是正方形