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【题目】如图,在RtABC中,∠ACB90°,∠B30°,AC2E为斜边AB的中点,点P是射线BC上的一个动点,连接APPE,将△AEP沿着边PE折叠,折叠后得到△EPA′,当折叠后△EPA′与△BEP的重叠部分的面积恰好为△ABP面积的四分之一,则此时BP的长为_____

【答案】22

【解析】

根据30°角所对的直角边等于斜边的一半可求出AB,即可得到AE的值,然后根据勾股定理求出BC.①若PA'AB交于点F,连接A'B,如图1,易得SEFPSBEPSA'EP,即可得到EFBE=BFPFA'P=A'F.从而可得四边形A'EPB是平行四边形,即可得到BP=A'E,从而可求出BP;②若EA'BC交于点G,连接AA',交EPH,如图2,同理可得GP=BGEGEA'=1,根据三角形中位线定理可得AP=2=AC,此时点P与点C重合(BP=BC),从而可求出BP

∵∠ACB=90°,∠B=30°,AC=2E为斜边AB的中点,

AB=4AEAB=2BC=2

①若PA'AB交于点F,连接A'B,如图1

由折叠可得SA'EP=SAEPA'E=AE=2

∵点EAB的中点,

SBEP=SAEPSABP

由题可得SEFPSABP

SEFPSBEPSAEPSA'EP

EFBE=BFPFA'P=A'F

∴四边形A'EPB是平行四边形,

BP=A'E=2

②若EA'BC交于点G,连接AA',交EPH,如图2

同理可得GPBP=BGEGEA'2=1

BE=AE

EGAP=1

AP=2=AC

∴点P与点C重合,

BP=BC=2

故答案为:22

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