【题目】如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠B=30°,AC=2,E为斜边AB的中点,点P是射线BC上的一个动点,连接AP、PE,将△AEP沿着边PE折叠,折叠后得到△EPA′,当折叠后△EPA′与△BEP的重叠部分的面积恰好为△ABP面积的四分之一,则此时BP的长为_____.
【答案】2或2
【解析】
根据30°角所对的直角边等于斜边的一半可求出AB,即可得到AE的值,然后根据勾股定理求出BC.①若PA'与AB交于点F,连接A'B,如图1,易得S△EFPS△BEPS△A'EP,即可得到EFBE=BF,PFA'P=A'F.从而可得四边形A'EPB是平行四边形,即可得到BP=A'E,从而可求出BP;②若EA'与BC交于点G,连接AA',交EP与H,如图2,同理可得GP=BG,EGEA'=1,根据三角形中位线定理可得AP=2=AC,此时点P与点C重合(BP=BC),从而可求出BP.
∵∠ACB=90°,∠B=30°,AC=2,E为斜边AB的中点,
∴AB=4,AEAB=2,BC=2.
①若PA'与AB交于点F,连接A'B,如图1.
由折叠可得S△A'EP=S△AEP,A'E=AE=2.
∵点E是AB的中点,
∴S△BEP=S△AEPS△ABP.
由题可得S△EFPS△ABP,
∴S△EFPS△BEPS△AEPS△A'EP,
∴EFBE=BF,PFA'P=A'F,
∴四边形A'EPB是平行四边形,
∴BP=A'E=2;
②若EA'与BC交于点G,连接AA',交EP与H,如图2.
.
同理可得GPBP=BG,EGEA'2=1.
∵BE=AE,
∴EGAP=1,
∴AP=2=AC,
∴点P与点C重合,
∴BP=BC=2.
故答案为:2或2.
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【题目】已知抛物线y=ax2+bx+c开口向上,与x轴交于点A、B,与y轴交于点C
(1) 如图1,若A (1,0)、C (0,3)且对称轴为直线x=2,求抛物线的解析式
(2) 在(1)的条件下,如图2,作点C关于抛物线对称轴的对称点D,连接AD、BD,在抛物线上是否存在点P,使∠PAD=∠ADB,若存在,求出点P的坐标,若不存在,请说明理由
(3) 若直线l:y=mx+n与抛物线有两个交点M、N(M在N的左边),Q为抛物线上一点(不与M、N重合),过点Q作QH平行于y轴交直线l于点H,求的值
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【题目】甲、乙两人分别站在相距 6 米的 A , B 两点练习打羽毛球,已知羽毛球飞行的路线为抛物线的一部分,甲在离地面 1 米的C 处发出一球,乙在离地面 1.5 米的 D 处成功击球,球飞行过程中的最高点 H 与甲的水平距离 AE 为 4 米,现以 A 为原点,直线 AB 为 x 轴, 建立平面直角坐标系(如图所示).
(1)求羽毛球飞行的路线所在的抛物线的表达式;
(2)求羽毛球飞行的最高高度。
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【题目】如图,在等腰中,,点是内一点,连接,且,设.
(1)如图1,若,将绕点顺时针旋转至,连结,易证为等边三角形,则 , ;
(2)如图2,若,则 , ;
(3)如图3,试猜想和之间的数量关系,并给予证明.
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【题目】已知二次函数与一次函数,令W=.
(1)若、的函数图像交于x轴上的同一点.
①求的值;
②当为何值时,W的值最小,试求出该最小值;
(2)当时,W随x的增大而减小.
①求的取值范围;
②求证: .
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【题目】(2011山东济南,27,9分)如图,矩形OABC中,点O为原点,点A的坐标为(0,8),点C的坐标为(6,0).抛物线经过A、C两点,与AB边交于点D.
(1)求抛物线的函数表达式;
(2)点P为线段BC上一个动点(不与点C重合),点Q为线段AC上一个动点,AQ=CP,连接PQ,设CP=m,△CPQ的面积为S.
①求S关于m的函数表达式,并求出m为何值时,S取得最大值;
②当S最大时,在抛物线的对称轴l上若存在点F,使△FDQ为直角三角形,请直接写出所有符合条件的F的坐标;若不存在,请说明理由.
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【题目】形如的函数称为反比例函数,我们定义,如果一次函数和反比例函数的系数a、b、c(abc≠0)满足,则称二次函数为一次函数函数y1和反比例函数y2的“调和二次函数”.
(1)试判断一次函数反比例函数的“调和二次函数”是否存在,并说明理;
(2)若二次函数 y3 m 1 x2 2mx 4 是某一次函数和反比例函数的“调和二次函数”,试求该一次函数的解析式.
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【题目】为了节省材料,某养殖户利用墙 (墙足够长)为一边,用总长为80m的篱笆围成了如图所示的①②③三块矩形区域养鸡场,而且这三块矩形区域的面积相等.若矩形区域ABCD的面积为300m2.求BC的长。
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【题目】自从湖南与欧洲的“湘欧快线”开通后,我省与欧洲各国经贸往来日益频繁,某欧洲客商准备在湖南采购一批特色商品,经调查,用16 000元采购A型商品的件数是用7 500元采购B型商品的件数的2倍,一件A型商品的进价比一件B型商品的进价多10元.
(1)求一件A,B型商品的进价分别为多少元?
(2)若该欧洲客商购进A,B型商品共250件进行试销,其中A型商品的件数不大于B型的件数,且不小于80件,已知A型商品的售价为240元/件,B型商品的售价为220元/件,且全部售出.设购进A型商品m件,求该客商销售这批商品的利润v与m之间的函数解析式,并写出m的取值范围;
(3)在(2)的条件下,欧洲客商决定在试销活动中每售出一件A型商品,就从一件A型商品的利润中捐献慈善资金a元,求该客商售完所有商品并捐献慈善资金后获得的最大收益.
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