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【题目】如图,在等腰中,,点内一点,连接,且,设.

1)如图1,若,将绕点顺时针旋转,连结,易证为等边三角形,则

2)如图2,若,则

3)如图3,试猜想之间的数量关系,并给予证明.

【答案】123

【解析】

1)将PBC绕点C顺时针旋转90°DAC,连结DP,只要证明DAP为等边三角形,即可解决问题;
2)将PBC绕点C顺时针旋转90°DAC,连结DP,只要证明DAP为等腰直角三角形,即可解决问题;
3)将PBC绕点C顺时针旋转90°DAC,连结DP,只要证明BPA≌△BPDSSS),即可解决问题;

解:(1)如图1中,

由旋转不变性可知:

在等腰中,

CP为三线合一的线

中,

为等腰直角三角形

∴△APD是等边三角形,
∴∠ADP=APD=60°
∵∠CDP=CPD=45°
∴∠ADC=APC=CPB=105°
∴∠APB=360°-105°-105°=150°
α=150°β=105°
故答案为150°105°

2)将PBC绕点C顺时针旋转90°DAC,连结DP

由旋转不变性可知:BP=ADCD=CPDCP=90°

为等腰直角三角形



∴△ADP是等腰直角三角形,
∴∠APD=90°ADP=45°
∴∠APC=135°BPC=ADC=90°
∴∠APB=360°-135°-90°=135°
α=135°β=90°
故答案为135°90°

3)将PBC绕点C顺时针旋转90°DAC,连结DP,延长PBADS
由旋转不变性可知:BP=ADCD=CPDCP=90°

为等腰直角三角形

PA=PD
∵∠BPC+CPS=180°BPC=ADC
∴∠ADC+CPS=180°
∴∠PSD+PCD=180°
∴∠PSD=90°
PSAD

PA=PD

∴△ADP是等腰直角三角形,
SA=SD

∴△ABP是等腰直角三角形,
BA=BD
BP=BPPA=PDBA=BD
∴△BPA≌△BPDSSS),
∴∠APB=BPD
BPD-BPC=CPD=45°
即:

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