【题目】如图,在平面直角坐标系中,点的坐标为,点的坐标为,抛物线经过、、三点,连接、、,线段交轴于点,已知实数、分别是方程的两根.
(1)求抛物线的解析式;
(2)若点为线段上的一个动点(不与点、重合),直线与抛物线交于、两点(点在轴右侧),连接、.
①求面积的最大值,并写出此时点的坐标;②当为等腰三角形时,请直接写出点的坐标.
【答案】(1)抛物线的解析式为:;(2)①△OBD面积最大值为,此时点D();②点P()或()或()
【解析】
(1)解方程即可求得A和B的坐标,代入即可求得抛物线的解析式;
(2)①过D作DG⊥x轴于G,交OB于点Q,过点B作BH⊥x轴于H,用d表示D点和Q点的坐标,根据,可得S和d的关系式,进而可得的最大值以及此时点D的坐标;②求出直线AB的解析式,即可得OC的长度,设点P(p,-p)对△OPC为等腰三角形的情况分类讨论:(1)OP=OC;(2)OP=PC,;(3)OC=PC,分别根据两点间距离公式以及线段垂直平分线的性质求出p的值即可求得点P的坐标.
解:(1)∵
∴
又m<n
∴m=-1,n=3
又∵抛物线过点O(0,0)
所以将A(-1,-1),B(3,-3)代入抛物线解析式中,
可得
解得
∴抛物线的解析式为:.
(2)①如下图所示,过D作DG⊥x轴于G,交OB于点Q,过点B作BH⊥x轴于H,
设点D(d,),
易得直线OB的解析式为:y=-x
∴Q(d,-d)
∴
=
=
=
=
=
∴当时,取最大值,最大值为,此时D()
故△OBD面积最大值为,此时点D().
②设直线AB的解析式为:y=kx+b,将点A(-1,-1),B(3,-3)代入得:
,解得
∴直线AB的解析式为:
令x=0得:y=
∴OC=
同理可知直线OB的解析式为:y=-x
∴设点P(p,-p)且p>0
根据两点间距离公式对△OPC为等腰三角形的情况分类讨论:
(1)OP=OC,∴OP=
∴p=(舍去)或p=
∴点P()
(2)OP=PC,∴P在线段OC中垂线上
∴P的纵坐标为
又点P在OB上
∴P()
(3)OC=PC,∴PC=
解得:p=0(舍去)或p=
∴点P()
综上所述:点P()或()或().
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【题目】如图,在等腰中,,点是内一点,连接,且,设.
(1)如图1,若,将绕点顺时针旋转至,连结,易证为等边三角形,则 , ;
(2)如图2,若,则 , ;
(3)如图3,试猜想和之间的数量关系,并给予证明.
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【题目】为了节省材料,某养殖户利用墙 (墙足够长)为一边,用总长为80m的篱笆围成了如图所示的①②③三块矩形区域养鸡场,而且这三块矩形区域的面积相等.若矩形区域ABCD的面积为300m2.求BC的长。
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【题目】如图所示,△ACB和△ECD都是等腰直角三角形,∠ACB=∠ECD=90°,D为AB边上一点.
(1)求证:△ACE≌△BCD;
(2)若AD=5,BD=12,求DE的长.
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【题目】问题探究
请在图的正方形ABCD的对角线BD上作一点P,使最小;
如图,点P为矩形ABCD的对角线BD上一动点,,,点E为BC边的中点,请作一点P,使最小,并求这个最小值;
问题解决
如图,李师傅有一块边长为1000米的菱形采摘园ABCD,米,BD为小路,BC的中点E为一水池,李师傅现在准备在小路BD上建一个游客临时休息纳凉室P,为了节省土地,使休息纳凉室P到水池E与大门C的距离之和最短,那么是否存在符合条件的点P?若存在,请作出点P的位置,并求出这个最短距离;若不存在,请说明理由.
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【题目】自从湖南与欧洲的“湘欧快线”开通后,我省与欧洲各国经贸往来日益频繁,某欧洲客商准备在湖南采购一批特色商品,经调查,用16 000元采购A型商品的件数是用7 500元采购B型商品的件数的2倍,一件A型商品的进价比一件B型商品的进价多10元.
(1)求一件A,B型商品的进价分别为多少元?
(2)若该欧洲客商购进A,B型商品共250件进行试销,其中A型商品的件数不大于B型的件数,且不小于80件,已知A型商品的售价为240元/件,B型商品的售价为220元/件,且全部售出.设购进A型商品m件,求该客商销售这批商品的利润v与m之间的函数解析式,并写出m的取值范围;
(3)在(2)的条件下,欧洲客商决定在试销活动中每售出一件A型商品,就从一件A型商品的利润中捐献慈善资金a元,求该客商售完所有商品并捐献慈善资金后获得的最大收益.
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【题目】为响应市委市政府提出的建设“绿色襄阳”的号召,我市某单位准备将院内一块长30m,宽20m的长方形空地,建成一个矩形花园.要求在花园中修两条纵向平行和一条横向弯折的小道,剩余的地方种植花草,如图所示,要使种植花草的面积为532m2,那么小道进出口的宽度应为多少米?(注:所有小道进出口的宽度相等,且每段小道均为平行四边形)
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【题目】如图,抛物线的对称轴为,与轴的一个交点在和之间,其部分图象如图所示,则下列结论:(1):(2);(3)(为任意实数);(4);5)点是该抛物线上的点,且,其中正确结论的个数是( )
A. 2B. 3C. 4D. 5
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