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【题目】如图,在平面直角坐标系中,点的坐标为,点的坐标为,抛物线经过三点,连接,线段轴于点,已知实数分别是方程的两根.

1)求抛物线的解析式;

2)若点为线段上的一个动点(不与点重合),直线与抛物线交于两点(点轴右侧),连接.

①求面积的最大值,并写出此时点的坐标;②当为等腰三角形时,请直接写出点的坐标.

【答案】1)抛物线的解析式为:;(2)①△OBD面积最大值为,此时点D);②点P)或()或(

【解析】

1)解方程即可求得AB的坐标,代入即可求得抛物线的解析式;

2)①过DDGx轴于G,交OB于点Q,过点BBHx轴于H,用d表示D点和Q点的坐标,根据,可得Sd的关系式,进而可得的最大值以及此时点D的坐标;②求出直线AB的解析式,即可得OC的长度,设点Pp,-p)对OPC为等腰三角形的情况分类讨论:(1OP=OC;(2OP=PC,;(3OC=PC,分别根据两点间距离公式以及线段垂直平分线的性质求出p的值即可求得点P的坐标.

解:(1)∵

m<n

m=-1n=3

又∵抛物线过点O0,0

所以将A-1-1),B3-3)代入抛物线解析式中,

可得

解得

∴抛物线的解析式为:.

2)①如下图所示,过DDGx轴于G,交OB于点Q,过点BBHx轴于H

设点Dd),

易得直线OB的解析式为:y=-x

Qd,-d

=

=

=

=

=

∴当时,取最大值,最大值为,此时D

故△OBD面积最大值为,此时点D.

②设直线AB的解析式为:y=kx+b,将点A-1-1),B3-3)代入得:

,解得

∴直线AB的解析式为:

x=0得:y=

OC=

同理可知直线OB的解析式为:y=-x

∴设点Pp,-p)且p>0

根据两点间距离公式对△OPC为等腰三角形的情况分类讨论:

1OP=OC,∴OP=

p=(舍去)或p=

∴点P

2OP=PC,∴P在线段OC中垂线上

P的纵坐标为

又点POB

P

3OC=PC,∴PC=

解得:p=0(舍去)或p=

∴点P

综上所述:点P)或()或(.

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