Question

【题目】问题探究

请在图的正方形ABCD的对角线BD上作一点P，使最小；

如图，点P为矩形ABCD的对角线BD上一动点，，，点E为BC边的中点，请作一点P，使最小，并求这个最小值；

问题解决

如图，李师傅有一块边长为1000米的菱形采摘园ABCD，米，BD为小路，BC的中点E为一水池，李师傅现在准备在小路BD上建一个游客临时休息纳凉室P，为了节省土地，使休息纳凉室P到水池E与大门C的距离之和最短，那么是否存在符合条件的点P？若存在，请作出点P的位置，并求出这个最短距离；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】解：见解析 的最小值为3；存在，且最短距离约为985米

【解析】

（1）利用两点之间线段最短，即可得出结论；

（2）先确定出点P的位置，再求出∠CBD=30°，进而判断出△BCC'是等边三角形，即可得出结论；

（3）先确定出点P的位置，再求出OA，OB，进而利用面积求出AH，最后用勾股定理即可得出结论．

解：如图，连接AC交BD于点P，则点P就是所要求作的点，

理由：在BD上任取一点异于点P的点Q，连接AQ，CQ，

；

如图

，

作点C关于BD的对称点C'，连接EC'交BD于点P，连接C'P，

∵点C与点C'关于BD的对称点，

∴CP=C'P，

∴C'P+PE=C'P'+P'E=C'E，

在BD上任取异于点P的P'，连接P'E，P'C，C'P'，

∴C'P'+P'E=P'C+P'E＞C'E，

∴点P就是所要求作的点，EC'的长度PE+PC的最小值，

∵四边形ABCD是矩形，，

，，

，

，

∵点C和点C'关于BD对称，

设CC'交BD于G，

∴BD是CC'的垂直平分线，连接BC'，

∴∠C'BD=∠CBD=30°，BC'=BC，

∴∠C'BC=60°，

∴△BCC'是等边三角形，

∵点E是BC的中点，

∴CE⊥BC，

，

，

即：的最小值为3；

存在，如图，连接AE交BD于P，点P就是所要求作的点，AE的长度就是休息纳凉室P到水池E与大门C的距离之和最短的值，

，

四边形ABCD是菱形，

点C关于BD的对称点为A，连接AE，交BD于P，点P就是所要求作的点，

米，米，于Q，

米，米，

过点A作于H，

，

米，

在中，根据勾股定理得，米，

米，

在中，米，

即：存在点P，且最短距离约为985米．