Question

【题目】如图1，直线l：y＝x+2与x轴交于点A，与y轴交于点B．已知点C（﹣2，0）．

（1）求出点A，点B的坐标．

（2）P是直线AB上一动点，且△BOP和△COP的面积相等，求点P坐标．

（3）如图2，平移直线l，分别交x轴，y轴于交于点A1，B1，过点C作平行于y轴的直线m，在直线m上是否存在点Q，使得△A1B1Q是等腰直角三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点Q的坐标．

Answer 1

【答案】（1）点A的坐标为（﹣4，0），点B的坐标的坐标为（0，2）；（2）点P坐标为（4，4）；（3）点Q为（﹣2，2）或（﹣2，﹣2）或（﹣2，-4）或（﹣2，）．

【解析】

（1）根据求与轴交点坐标的方法，列出方程即可得到结论；

（2）设，根据面积公式列出方程即可得出结论；

（3）如图2，①当点是直角顶点时，根据全等三角形的性质即可得出结论；②当点是直角顶点时，，根据平移的性质得到直线的解析式为，根据两点间的距离公式即可得到结论；③当点是直角顶点时，过点作轴于点，根据全等三角形的性质即可得出结论．

解：（1）设y＝0，则x+2＝0，

解得：x＝﹣4，

设x＝0，则y＝2，

∴点A的坐标为（﹣4，0），点B的坐标的坐标为（0，2）；

（2）∵点C（﹣2，0），点B（0，2），

∴OC＝2，OB＝2，

∵P是直线AB上一动点，

∴设P（m，m+2），

∵△BOP和△COP的面积相等，

∴×2|m|＝2×（|m|+2），

解得：m＝±4，

当m＝﹣4时，点P与点A重合，

∴点P坐标为（4，4）；

（3）存在；

理由：如图1，

①当点B1是直角顶点时，

∴B1Q＝B1A1，

∵∠A1B1O+∠QB1H＝90°，∠A1B1O+∠OA1B1＝90°，

∴∠OA1B1＝∠QB1H，

在△A1OB1和△B1HQ中，，

∴△A1OB1≌△B1HQ（AAS），

∴B1H＝A1O，OB1＝HQ＝2，

∴B1（0，﹣2）或（0，2），

当点B1（0，﹣2）时，Q（﹣2，2），

当点B1（0，2）时，

∵B（0，2），

∴点B1（0，2）（不合题意舍去），

∴Q（﹣2，2），

②当点A1是直角顶点时，A1B1＝A1Q，

∵直线AB的解析式为y＝x+2，

由平移知，直线A1B1的解析式为y＝x+b，

∴A1（﹣2b，0），B1（0，b），

∴A1B12＝4b2+b2＝5b2，

∵A1B1⊥A1Q，

∴直线A1Q的解析式为y＝﹣2x﹣4b

∴Q（﹣2，4﹣4b），

∴A1Q2＝（﹣2b+2）2+（4﹣4b）2＝20b2-40b+20，

∴20b2﹣40b+20＝5b2，

∴b＝2或b＝，

∴Q（﹣2，-4）或（﹣2，）；

③当Q是直角顶点时，过Q作QH⊥y轴于H，

∴A1Q＝B1Q，

∵∠QA1C1+∠A1QC＝90°，∠A1QC+∠CQB1＝90°，

∴∠QA1C＝∠CQB1，

∵m∥y轴，

∴∠CQB1＝∠QB1H，

∴∠QA1C＝∠QB1H

在△A1QC与△B1QH中，，

∴△A1QC≌△B1QH（AAS），

∴CQ＝QH＝2，B1H＝A1C，

∴Q（﹣2，2）或（﹣2，﹣2），

即：满足条件的点Q为（﹣2，2）或（﹣2，﹣2）或（﹣2，-4）或（﹣2，）．