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    【题目】如图1，正方形ABCD的对角线AC，BD交于点O，将△COD绕点O逆时针旋转得到△EOF（旋转角为锐角），连AE，BF，DF，则AE=BF．

    （1）如图2，若（1）中的正方形为矩形，其他条件不变．

    ①探究AE与BF的数量关系，并证明你的结论；

    ②若BD=7，AE=，求DF的长；

    （2）如图3，若（1）中的正方形为平行四边形，其他条件不变，且BD=10，AC=6，AE=5，请直接写出DF的长．

    【答案】（1）①AE=BF；证明见解析；②DF=；（2）DF=．

    【解析】

    （1）①利用矩形的性质，旋转的性质得到∠BOF=∠AOE，证明△BOF≌△AOE可得结论，

    ②利用矩形性质与旋转性质证明△BFD为直角三角形，从而可得答案，

    （2）利用平行四边形的性质与旋转的性质，证明△AOE∽△BOF，求解BF，再证明△BDF是直角三角形，从而可得答案．

    （1）①AE=BF，理由如下：

    证明：∵ABCD为矩形，

    ∴AC=BD，OA=OB=OC=OD，

    ∵△COD绕点O旋转得△EOF，

    ∴OC=OE，OD=OF，∠COE=∠DOF

    ∵∠BOD=∠AOC=180°

    ∴∠BOD-∠DOF=∠AOC-∠COE

    即∠BOF=∠AOE

    ∴△BOF≌△AOE（SAS），

    ∴BF=AE

    ②∵OB=OD=OF，

    ∴∠BFD=90°

    ∴△BFD为直角三角形，

    ∴，

    ∵BF=AE

    ∴

    ∵BD=7，AE=

    ∴DF=

    （2））∵四边形ABCD是平行四边形，

    ∴OC=OA=AC=3，OB=OD=BD=5，

    ∵将△COD绕点O按逆时针方向旋转得到△FOE，

    ∴OC=OE，OD=OF，∠EOC=∠FOD

    ∴OA=OE，OB=OF，∠EOA=∠FOB

    ∴ ，且∠EOA=∠FOB

    ∴△AOE∽△BOF，

    ∴

    ∵OB=OF=OD

    ∴△BDF是直角三角形，

    ∴

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