Question

【题目】（1）如图①，已知正方形ABCD的边长是4，M在DC上，M是CD的中点，点P是AC边上的一动点，则当DP+MP的值最小时，在备用图（答题卷上）中用尺规作出点P的位置，并直接写出DP的长是?

（2）如图②，已知正方形ABCD的边长是4，点M是DC上的一个动点，连结AM，作BP⊥AM于点P，连结DP，当DP最小时，在备用图（答题卷上）中用尺规作出点P的位置，并直接写出DP的长是?

Answer 1

【答案】（1）见解析，；（2）见解析，

【解析】

（1）作点M关于BC的对称点M′，连结DM′交AC于点P，此时DP+MP最小，最小值为DM′，根据勾股定理求得DM′，然后根据三角形相似对应边成比例即可求得DP；

（2）以AB为直径作△APB的内接圆，当DP最小时，N、P、D三点共线，DP最小，根据勾股定理求得ND=

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，即可求得DP．

（1）如图1①，

作点M关于BC的对称点M′，连结DM′交AC于点P，

此时DP+MP最小，最小值为DM′，

DM′=，

∵AD∥BC，

△ADP∽△CM′P，

∴DP：PM′=AD：CM′=2：1

∴；

（2）如图②正方形ABCD边长是4，所以三角形ABP的半径是2，DN长是2．DP最小是．

∵BP⊥AM，

∴△ABP是直角三角形，

∴以AB为直径作△APB的外接圆，

∵正方形ABCD边长是4，

∴三角形ABP的半径是2，DN长是2．

当DP最小时，N、P、D三点共线

∴DP最小值=2-2．