Question

【题目】小明研究了这样一道几何题：如图1，在△ABC中，把AB点A顺时针旋转α (0°＜α＜180°)得到AB′，把AC绕点A逆时针旋转β得到AC′，连接B′C′．当α+β=180°时，请问△AB′C′边B′C′上的中线AD与BC的数量关系是什么？以下是他的研究过程：

特例验证：

(1)①如图2，当△ABC为等边三角形时，AD与BC的数量关系为AD=　 　BC；

②如图3，当∠BAC=90°，BC=8时，则AD长为　 　．

猜想论证：

(2)在图1中，当△ABC为任意三角形时，猜想AD与BC的数量关系，并给予证明．

拓展应用

(3)如图4，在四边形ABCD，∠C=90°，∠A+∠B=120°，BC=12，CD=6，DA=6，在四边形内部是否存在点P，使△PDC与△PAB之间满足小明探究的问题中的边角关系？若存在，请画出点P的位置(保留作图痕迹，不需要说明)并直接写出△PDC的边DC上的中线PQ的长度；若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】(1)①；②4

(2) AD=BC，理由见解析

(3)存在，3

【解析】

(1)①由已知条件可得AD⊥B′C′，由α+β=180°可得∠BAC+∠B′AC′=180°，已知∠BAC=60°，可求得∠B′AC′=120°继而∠B′=∠C′=30°，可得AD=AB′=BC

②当∠BAC=90°时，可得∠B′AC′=∠BAC=90°，△B′AC′是直角三角形，可证得△BAC≌△B′AC′，推出对应边相等，已知BC=8求出AD的长.

（2）先做辅助线，延长AD到M，使得AD=DM，连接B′M、C′M，如图1所示：

因为B′D=DC′，AD=DM，对角线相互平分，可得四边形AC′MB′是平行四边形，得出对应边相等，由∠BAB′+∠CAC′=180°推得∠BAC=∠AB′M，可证明△BAC≌△AB′M，所以BC=AM，AD=BC；

(3)先做辅助线，作线段BC的垂直平分线交BE于P，即为点P的位置；延长AD交BC的延长线于M，线段BC的垂直平分线交BC于F，连接PA、PD、PC，作△PDC的中线PQ，连接DF交PC于O

假设P点存在，再证明理由.

根据已知角可得出△DCM是直角三角形，∠MDC=30°，可得出CM=2，DM=4存在；

∵CD=6，∠DCM=90°，∠MDC=30°，∠M=90°﹣∠MDC=60°，可求得EM=BM=7，DE=EM﹣DM=7﹣4=3，

由已知DA=6，推得AE=DE

且BE⊥AD，可得PF是线段BC的垂直平分线，证得PA=PD

因为PB=PC，PF∥CD，可求得CF=BC=6，利用线段长度可求得∠CDF=60°

利用全等三角形判定定理可证得△FCP≌△CFD(AAS)，进而证得四边形CDPF是矩形，

得∠CDP=90°，∠ADP =60°，可得△ADP是等边三角形，求出DQ、DP，在Rt△PDQ中可求得PQ长度.

(1)①∵△ABC是等边三角形

∴AB=BC=AC=AB′=AC′，∠BAC=60°

∵DB′=DC′

∴AD⊥B′C′

∵∠BAB′+∠CAC′=180°

∴∠BAC+∠B′AC′=180°

∴∠B′AC′=180°﹣∠BAC=180°﹣60°=120°

∴∠B′=∠C′=30°

∴AD=AB′=BC

故答案：

②∵∠BAB′+∠CAC′=180°

∴∠BAC+∠B′AC′=180°

∵∠BAC=90°

∴∠B′AC′=∠BAC=90°

在△BAC和△B′AC′中，

∴△BAC≌△B′AC′(SAS)

∴BC=B′C′

∵B′D=DC′

∴AD=B′C′=BC=4

故答案：4

(2)AD与BC的数量关系：AD=BC；理由如下：

延长AD到M，使得AD=DM，连接B′M、C′M，如图1所示：

∵B′D=DC′，AD=DM，

∴四边形AC′MB′是平行四边形，

∴∠B′AC′+∠AB′M=180°，AC′=B′M=AC，

∵∠BAB′+∠CAC′=180°，

∴∠BAC+∠B′AC′=180°，

∴∠BAC=∠AB′M，

在△BAC和△AB′M中，，

∴△BAC≌△AB′M(SAS)，

∴BC=AM，

∴AD=BC；

(3)存在；作BE⊥AD于E，作线段BC的垂直平分线交BE于P，即为点P的位置；理由如下：

延长AD交BC的延长线于M，线段BC的垂直平分线交BC于F，连接PA、PD、PC，作△PDC的中线PQ，连接DF交PC于O，如图4所示：

∵∠A+∠B=120°，

∴∠ADC=150°，

∴∠MDC=30°，

在Rt△DCM中，∵CD=6，∠DCM=90°，∠MDC=30°，

∴CM=2，DM=4，∠M=90°﹣∠MDC=60°，

在Rt△BEM中，∵∠BEM=90°，BM=BC+CM=12+2=14，∠MBE=90°﹣∠M=30°，

∴EM=BM=7，

∴DE=EM﹣DM=7﹣4=3，

∵DA=6，

∴AE=DE，

∵BE⊥AD，

∴PA=PD，

∵PF是线段BC的垂直平分线，

∴PB=PC，PF∥CD，

在Rt△CDF中，∵CD=6，CF=BC=6，

∴tan∠CDF===，

∴∠CDF=60°，

∴∠MDF=∠MDC+∠CDF=30°+60°=90°，

∴∠ADF=90°=∠AEB，

∴∠CBE=∠CFD，

∵∠CBE=∠PCF，

∴∠CFD=∠PCF=30°，

∵∠CFD+∠CDF=90°，∠PCF+∠CPF=90°，

∴∠CPF=∠CDF=60°，

在△FCP和△CFD中，，

∴△FCP≌△CFD(AAS)，

∴CD=PF，

∵CD∥PF，

∴四边形CDPF是矩形，

∴∠CDP=90°，

∴∠ADP=∠ADC﹣∠CDP=60°，

∴△ADP是等边三角形，

∴∠APD=60°，

∵∠BPF=∠CPF=90°﹣30°=60°，

∴∠BPC=120°，

∴∠APD+∠BPC=180°，

∴△PDC与△PAB之间满足小明探究的问题中的边角关系；

在Rt△PDQ中，∵∠PDQ=90°，PD=DA=6，DN=CD=3，

∴PQ===．