Question

17．将边长为a的正三角形各边三等分，以这六个分点为顶点构成一个正六边形，则这个正六边形的面积为$\frac{\sqrt{3}}{6}$a²．

Answer 1

分析 由于正三角形各边三等分，就把整个三角形平均分成9个小正三角形，以这六个分点为顶点构成一个正六边形正好相当于6个小正三角形的面积．

解答 解：如图所示：
∵新的正六边形有三个顶点在正三角形的三边上，且是三边的等分点，
∴连接正三角形的顶点与它对边的中点，可以看出新的正六边形的面积是六个小正三角形的面积之和，
∵边长为a的正三角形各边三等分，
∴小正三角形的边长为$\frac{1}{3}$a，
∴每个小正三角形的面积是$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{3}$a×$\sqrt{\frac{{a}^{2}}{9}-\frac{{a}^{2}}{36}}$=$\frac{1}{6}$a×$\frac{\sqrt{3}}{6}$a=$\frac{\sqrt{3}}{36}$a²，
∴新的正六边形的面积=$\frac{\sqrt{3}}{36}$a²×6=$\frac{\sqrt{3}}{6}$a²；
故答案为：$\frac{\sqrt{3}}{6}$a²．

点评 此题考查了正三角形的性质、正三角形面积的计算方法；熟练掌握正三角形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．