Question

【题目】如图，在△ABC中，I是△ABC的内心，O是AB边上一点，⊙O经过B点且与AI相切于I点．若tan∠BAC＝，则sin∠C的值为（　　）

A.B.C.D.

Answer 1

【答案】B

【解析】

根据题意延长AI交BC于D，连结OI，作BH⊥AC于H，如图，根据内心的性质得∠OBI＝∠DBI，则可证明OI∥BD，再根据切线的性质得OI⊥AI，则BD⊥AD，加上AI平分∠BAC，所以△ABC为等腰三角形，得到AB＝AC，接着在Rt△ABH中，利用正切的定义得到tan∠BAH＝＝，于是可设BH＝24x，AH＝7x，利用勾股定理得到AB＝25x，则AC＝AB＝25x，CH＝AC﹣AH＝18x，然后在Rt△BCH中，利用勾股定理计算出BC＝30x，再利用正弦的定义计算sinC的值．

解：延长AI交BC于D，连结OI，作BH⊥AC于H，如图，

∵I是△ABC的内心，

∴BI平分∠ABC，即∠OBI＝∠DBI，

∵OB＝OI，

∴∠OBI＝∠OIB，

∴∠DBI＝∠OIB，

∴OI∥BD，

∵AI为⊙O的切线，

∴OI⊥AI，

∴BD⊥AD，

∵AI平分∠BAC，

∴△ABC为等腰三角形，

∴AB＝AC，

在Rt△ABH中，tan∠BAH＝＝，

设BH＝24x，AH＝7x，

∴AB＝＝25x，

∴AC＝AB＝25x，

∴CH＝AC﹣AH＝25x﹣7x＝18x，

在Rt△BCH中，BC＝＝30x，

∴sinC＝＝＝．

故选：B．