Question

8．如图，抛物线y=$\frac{1}{4}$x²-x+1的顶点A在x轴上，与y轴交于B，延长AB至C，使BC=2AB，将抛物线向左平移n个单位，使抛物线与线段AC总有两个交点，求n的取值范围．

Answer 1

分析 先求出A点和B点坐标作CH⊥x轴于H点，如图，再利用平行线分线段成比例定理求出AH和CH的长，从而得到C点坐标，抛物线y=$\frac{1}{4}$（x-2）²向左平移n个单位所的抛物线解析式为y=$\frac{1}{4}$（x-2+n）²，由于抛物线y=$\frac{1}{4}$（x-2-n）²第一次经过点C之前，抛物线与线段AC总有两个交点，所以把C点坐标代入y=$\frac{1}{4}$（-4-2+n）²得n的最大值，从而可确定n的范围．

解答 解：y=$\frac{1}{4}$x²-x+1=$\frac{1}{4}$（x-2）²，则A（2，0），B（0，1），
作CH⊥x轴于H点，如图，
∵OB∥CH，
∴$\frac{OB}{CH}$=$\frac{OA}{AH}$=$\frac{AB}{AC}$=$\frac{1}{3}$，
∴CH=3，AH=6，
∴C（-4，3），
∵抛物线y=$\frac{1}{4}$（x-2）²向左平移n个单位所的抛物线解析式为y=$\frac{1}{4}$（x-2+n）²，
当抛物线y=$\frac{1}{4}$（x-2-n）²第一次经过点C时，$\frac{1}{4}$（-4-2+n）²=3，解得n=6+2$\sqrt{3}$（舍去）或n=6-2$\sqrt{3}$，
∴当平移后的抛物线与线段AC总有两个交点时，n的范围为0≤n≤6-2$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．解决本题的关键是求出C点坐标．