Question

【题目】如图，已知，点在射线上，点…在射线上，、、…均为等边三角形，分别连接，连接….若，从左往右的阴影面积依次记作.则=______.

Answer 1

【答案】

【解析】

易证∠A1OB1=∠A1B1O=30°，从而可得B1A=OA1=a，同理可得A2B2=OA2=2a，B3A3=OA3=4a，…，从而归纳得到BnAn=2n-1a，即可得到S正△AnBnAn+1=BnAn2=4n-2a2．易证A1B1∥A2B2，从而可得△A1B1C1∽△B2A2C1，根据相似三角形的性质可得==，根据合比性质可得=，根据两个三角形高相等时面积比等于底的比可得S1=S△A1B1A2，同理可得Sn=S△AnBnAn+1，由此就可求出Sn．

∵△A1B1A2是等边三角形,∴∠B1A1A2=60°.
∵∠MON=30°,∴∠OB1A1=60°30°=30°，
∴∠A1OB1=∠A1B1O,∴B1A=OA1=a.
同理：A2B2=OA2=2a,B3A3=OA3=4a，…
BnAn=2n1a，
∴S正△AnBnAn+1=BnAn2= (2n1a)2.
=22n2a2=4n1a2=4n2a2
∵△A1B1A2、△A2B2A3为等边三角形，
∴∠B1A1A2=∠B2/span>A2A3=60°，
∴A1B1∥A2B2，
∴△A1B1C1∽△B2A2C1，
∴==，
∴=，
∴=,即S1=S△A1B1A2.
同理可得Sn=S△AnBnAn+1=4n2a2=
故答案为.