Question

9．阅读并解决问题
阅读理解：
在△ABC中，AB、BC、AC三边的长分别为$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$，2，求这个三角形的面积．
解法一：因为△ABC是等腰三角形，并且底AC=2，底边的高为1．
所以 S_△ABC=$\frac{1}{2}$×2×1
解法二：建立边长为1的正方形网格，在网格中画出△ABC，使△ABC三个顶点都在小正方形的顶点处，如图所示．
借用网格面积可得：S_△ABC=S_矩形ADEC-S_△ADB-S_△CEB=1
方法迁移：
在△ABC中，AB、BC、AC三边的长分别为$\sqrt{5}$，$\sqrt{10}$，$\sqrt{13}$，求这个三角形的面积．
思维拓展：
在△ABC中，AB、BC、AC三边的长分别为$\sqrt{25{m}^{2}+{n}^{2}}$，$\sqrt{9{m}^{2}+4{n}^{2}}$，$\sqrt{4{m}^{2}+{n}^{2}}$，其中（m＞0，n＞0，m≠n），求这个三角形的面积．

Answer 1

分析 方法迁移：根据题意画出图形，△ABC的面积等于正方形MNCP的面积减去三个小直角三角形的面积；
思维拓展：根据题意画出图形，△ABC的面积等于大矩形的面积减去三个小直角三角形的面积．

解答 解：方法迁移：
建立边长为1的正方形网格，在网格中画出△ABC，使△ABC三个顶点都在小正方形的顶点处，
AB=$\sqrt{{1}^{2}+{2}^{2}}$=$\sqrt{5}$，AC=$\sqrt{{1}^{2}+{3}^{2}}$=$\sqrt{10}$，BC=$\sqrt{{2}^{2}+{3}^{2}}$=$\sqrt{13}$，
根据题意得：△ABC的面积等于正方形MNCP的面积减去三个小直角三角形的面积，即：
S_△ABC=S_{正方形MNCP}-S_△AMB-S_△CAN-S_△CPB
=3×3-$\frac{1}{2}$×2×1-$\frac{1}{2}$×3×1-$\frac{1}{2}$×2×3=9-1-1.5-3=3.5．            
思维拓展：
建立边长为m×n的矩形网格，在网格中画出△ABC，使△ABC三个顶点都在小正方形的顶点处，
其中AB=$\sqrt{（3m）^{2}+（2n）^{2}}$=$\sqrt{9{m}^{2}+4{n}^{2}}$，
AC=$\sqrt{（5m）^{2}+{n}^{2}}$=$\sqrt{25{m}^{2}+{n}^{2}}$，BC=$\sqrt{（2m）^{2}+{n}^{2}}$=$\sqrt{4{m}^{2}+{n}^{2}}$．如图所示：
则S_△ABC=5m×2n-$\frac{1}{2}$×3m×2n-$\frac{1}{2}$×5m×n-$\frac{1}{2}$×2m×n=3.5mn．

点评 本题考查了勾股定理、三角形面积的计算方法；熟练掌握勾股定理，在网格中画出△ABC是解决问题的关键．