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【题目】已知,如图,在中,AC=BC,点D是边AB的中点,E,F分别是AC和BC的中点,分别以CE,CF为一边向上作两个全等的矩形CEGH和矩形CFMN(其中EG=FM),依次连结DG、DM、GM。

(1)求证:是等腰三角形。

(2)如图,若将上图中的两个全等的矩形改为两个全等的正三角形(),其他条件不变。请探究的形状,并说明理由。

(3)若将上图中的两个全等的矩形改为两个正方形,并把中的边BC缩短到如图形状,请探究的形状,并说明理由。

【答案】(1)证明见解析 (2)△DGM是等边三角形. (3)△DGM是等腰直角三角形.

【解析】试题分析:(1)先根据SAS证明△FBM≌△MDH,得到DG=DM,是等腰三角形;(2)类似先证是等腰三角形,再求GM=GD,从而得出是等边三角形;(3)类似(1)(2)中方法,先得到是等腰三角形,再求GDM=GEC=900,从而得出是等腰直角三角形;

试题解析:

(1)证明:∵四边形CEGHCFMN是全等的矩形,

CE= CF,EG=FM,GEC =MFC = 90°.

连接DE、DF,如图.

D、E、F分别是AB、AC、BC的中点,

DEBC,且DE=CE =BC;

DFAC,且DF = CE = AC.

∴四边形DECF是平行四边形.

DEC=DFC.

又∵∠GEC=MFC,

∴∠DEG=DFM.

AC=BC,

DE=DF.

∴△FBM≌△MDH(SAS).

DG=DM.

∴△DGM是等腰三角形.

(2)DGM是等边三角形.

证明:∵是全等的等边三角形,

CE=EG=CG=CF=FM=CM,GEC=MFC=60°.

连接DE、DF,如图.

D、E、F分别是AB、AC、BC的中点,

DEBC,且DE =CE =BC;

DFAC,且DF=CE=AC.

∴四边形DECF是平行四边形.

DEC=DFC.

又∵∠GEC=MFC,

∴∠DEG=DFM.

AC=BC,

DE=DF.

∴△FBMMDH(SAS).

DG=DM.

∴△DGM是等腰三角形.

又∵∠GCM+ACB=3600-600-600=2400

GED+ACB=GEC+CED+ACB=600+1800=2400

∴∠GCM=GED

DE=CF=CM,EG=CG

∴△GED≌△GCM(SAS).

GM=GD

∴△DGM是等边三角形.

(3)DGM是等腰直角三角形.

显然,由(1)(2)易得GEDDFM(SAS)

DG=DM,DGE=MDF

DFAC

∴∠CED+EDF=1800/p>

即:∠CED+EDG+GDM+MDF=1800

又由三角形内角和可知∠CED+EDG+GEC+DGE=1800

∴∠GDM=GEC=900

∴△DGM是等腰直角三角形.

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