Question

5．如图，AB为圆O的直径，过点O作弦AD的垂线交半圆O于点E，F为垂足，延长OE交AC于点C，使∠C=∠BED．
（1）判断直线AC与圆O的位置关系，并证明你的结论．
（2）若AB=10，ED∥AB，求△BED的面积．

Answer 1

分析 （1）直线AC与圆O的位置关系是相切，理由为：利用同弧所对的圆周角相等可得一对角相等，再由已知的两角相等，等量代换可得∠DAB=∠C，又OC垂直于AD，根据垂直定义可得∠AFO为90°，进而得到三角形AFO中两锐角互余，等量代换可得三角形AOC中两角互余，即∠CAO为90°，即可得到直线AC与圆的切线，得证；
（2）连接BD、AF，作FG⊥AB于G，由直径直径对的圆周角是直角得∠ADB=90°，由OC⊥AD求得OE∥BD，即可证得四边形OBDE是平行四边形，得出ED=OB=5，OE=DB，由OA=OB，OE∥DB，得出AF=DF，根据RT△EFD≌RT△OFA得出EF=FO，根据线段垂直平分线的性质得出AE=AO，证得△AOE是等边三角形，即可求得EG=$\frac{\sqrt{3}}{2}$OE=$\frac{5\sqrt{3}}{2}$，根据三角形面积公式求得即可．

解答 解：（1）直线AC与圆O的位置关系是相切，
理由：∵∠BED与∠DAB所对的弧都为$\widehat{BD}$，
∴∠BED=∠DAB，
又∵∠BED=∠C，
∴∠DAB=∠C，
∵OC⊥AD，
∴∠AFO=90°，
∴∠DAB+∠AOC=90°，
∴∠C+∠AOC=90°，
∴∠OAC=90°，
∴AC⊥OA，
则AC为圆O的切线．

（2）解：如图，
∵AB是⊙O直径，
∴∠ADB=90°，
∵OC⊥AD，
∴OE∥BD，
∵ED∥AB，
∴四边形OBDE是平行四边形，
∴ED=OB=5，OE=DB，
∵OA=OB，OE∥DB，
∴AF=DF，
在RT△EFD和RT△OFA中，
$\left\{\begin{array}{l}{ED=AO}\\{DF=AF}\end{array}\right.$，
∴RT△EFD≌RT△OFA（HL），
∴EF=FO，
∴AF=OA，
∵AO=EO，
∴△AOE是等边三角形，
∴EG=$\frac{\sqrt{3}}{2}$OE=$\frac{\sqrt{3}}{2}$×5=$\frac{5\sqrt{3}}{2}$，
∴△BED的面积=$\frac{1}{2}$DE•FG=$\frac{1}{2}$×$5×\frac{5}{2}\sqrt{3}$=$\frac{25}{4}$$\sqrt{3}$．

点评 此题考查了切线的判定平行四边形的判定和性质，等边三角形的判定和性质三角形全等的判定和性质，圆周角定理，垂直定义，利用了转化及等量代换的思想，其中经过直径一端，且与直径垂直的直线为圆的切线，熟练掌握此性质是证明切线的关键．