【题目】如图,在菱形ABCD中,AB=4cm,∠BAD=60°.动点E、F分别从点B、D同时出发,以1cm/s的速度向点A、C运动,连接AF、CE,取AF、CE的中点G、H,连接GE、FH.设运动的时间为ts(0<t<4).
(1)求证:AF∥CE;
(2)当t为何值时,四边形EHFG为菱形;
(3)试探究:是否存在某个时刻t,使四边形EHFG为矩形,若存在,求出t的值,若不存在,请说明理由.
【答案】(1)证明见解析;(2)t=1,(3)不存在某个时刻t,使四边形EHFG为矩形.
【解析】
(1)根据菱形的性质得到∠B=∠D,AD=BC,AB∥DC,推出△ADF≌△CBE,根据全等三角形的性质得到∠DFA=∠BEC,根据平行线的判定定理即可得到结论;
(2)过D作DM⊥AB于M,连接GH,EF,推出四边形AECF是平行四边形,根据菱形的判定定理即可得到四边形EGFH是菱形,证得四边形DMEF是矩形,于是得到ME=DF=t列方程即可得到结论;
(3)不存在,假设存在某个时刻t,使四边形EHFG为矩形,根据矩形的性质列方程即可得到结果.
(1)证明:∵动点E、F同时运动且速度相等,
∴DF=BE,
∵四边形ABCD是菱形,
∴∠B=∠D,AD=BC,AB∥DC,
在△ADF与△CBE中,
∴△ADF≌△CBE,
∴∠DFA=∠BEC,
∵AB∥DC,
∴∠DFA=∠FAB,
∴∠FAB=∠BEC,
∴AF∥CE;
(2)过D作DM⊥AB于M,连接GH,EF,
∴DF=BE=t,
∵AF∥CE,AB∥CD,
∴四边形AECF是平行四边形,
∵G、H是AF、CE的中点,
∴GH∥AB,
∵四边形EGFH是菱形,
∴GH⊥EF,
∴EF⊥AB,∠FEM=90°,
∵DM⊥AB,
∴DM∥EF,
∴四边形DMEF是矩形,
∴ME=DF=t,
∵AD=4,∠DAB=60°,DM⊥AB,
∴
∴BE=4﹣2﹣t=t,
∴t=1,
(3)不存在,假设存在某个时刻t,使四边形EHFG为矩形,
∵四边形EHFG为矩形,
∴EF=GH,
∴EF2=GH2,
即解得t=0,0<t<4,
∴与原题设矛盾,
∴不存在某个时刻t,使四边形EHFG为矩形.
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【题目】如下图所示,直线y=-x+3与坐标轴分别交于点A,B,与直线y=x交于点C,线段OA上的点Q以每秒1个单位的速度从点O出发向点A作匀速运动,运动时间为t秒,连结CQ.
(1)求出点C的坐标;
(2)若△OQC是等腰直角三角形,则t的值为________;
(3)若CQ平分△OAC的面积,求直线CQ对应的函数表达式.
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【题目】用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图,如图所示,则说明∠A′O′B′=∠AOB的依据是全等三角形的_____相等.其全等的依据是_____.
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【题目】用甲、乙两种原料配制成某种饮料,已知这两种原料的维生素含量C及购这两种原料的价格如下表:
甲 | 乙 | |
维生素C(单位/千克) | 600 | 100 |
原料价格(元/千克) | 8 | 4 |
现配制这种饮料10千克,要求至少含有4200单位的维生素C,并要求购买甲、乙两种原料的费用不超过72元.请问:既要符合要求又要成本最低,则购买甲种原料应该在什么范围之内,最低成本是多少元?
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【题目】为满足市场需求,新生活超市在端午节前夕购进价格为3元/个的某品牌粽子,根据市场预测,该品牌粽子每个售价4元时,每天能出售500个,并且售价每上涨0.1元,其销售量将减少10个,为了维护消费者利益,物价部门规定,该品牌粽子售价不能超过进价的200%,请你利用所学知识帮助超市给该品牌粽子定价,使超市每天的销售利润为800元.
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【题目】如图,平面直角坐标系中,一次函数的图像与轴交于点A,与轴交于点B,点C是直线AB上一点,它的坐标为(,2),经过点C作直线CD∥轴交轴于点D.
(1)求点C的坐标及线段AB的长;
(2)已知点P是直线CD上一点.
①若△POC的面积是4,求点P的坐标;
②若△POC是直角三角形,请直接写出所有满足条件的点P的坐标.
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【题目】(10分)已知∠MAN=135°,正方形ABCD绕点A旋转.
(1)当正方形ABCD旋转到∠MAN的外部(顶点A除外)时,AM,AN分别与正方形ABCD的边CB,CD的延长线交于点M,N,连接MN.
①如图1,若BM=DN,则线段MN与BM+DN之间的数量关系是 ;
②如图2,若BM≠DN,请判断①中的数量关系是否仍成立?若成立,请给予证明;若不成立,请说明理由;
(2)如图3,当正方形ABCD旋转到∠MAN的内部(顶点A除外)时,AM,AN分别与直线BD交于点M,N,探究:以线段BM,MN,DN的长度为三边长的三角形是何种三角形,并说明理由.
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【题目】问题背景:在正方形ABCD的外侧,作△ADE和△DCF,连结AF、BE.特例探究:如图,若△ADE和△DCF均为等边三角形,试判断线段AF与BE的数量关系和位置关系,并说明理由.
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【题目】将长方形纸片ABCD沿过点B的直线折叠,使点A落在BC边上的点F处,折痕为BE(如图1);再沿过点E的直线折叠,使点D落在BE上的点D′处,折痕为EG(如图2);再展平纸片(如图3),则图3中∠α的大小为()
A.30°B.25.5°C.20°D.22.5°
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