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【题目】如图,在菱形ABCD中,AB=4cm,∠BAD=60°.动点E、F分别从点B、D同时出发,以1cm/s的速度向点A、C运动,连接AF、CE,取AF、CE的中点G、H,连接GE、FH.设运动的时间为ts(0<t<4).

(1)求证:AF∥CE;

(2)当t为何值时,四边形EHFG为菱形;

(3)试探究:是否存在某个时刻t,使四边形EHFG为矩形,若存在,求出t的值,若不存在,请说明理由.

【答案】(1)证明见解析;(2)t=1,(3)不存在某个时刻t,使四边形EHFG为矩形.

【解析】

(1)根据菱形的性质得到∠B=D,AD=BC,ABDC,推出ADF≌△CBE,根据全等三角形的性质得到∠DFA=BEC,根据平行线的判定定理即可得到结论;
(2)过DDMABM,连接GH,EF,推出四边形AECF是平行四边形,根据菱形的判定定理即可得到四边形EGFH是菱形,证得四边形DMEF是矩形,于是得到ME=DF=t列方程即可得到结论;
(3)不存在,假设存在某个时刻t,使四边形EHFG为矩形,根据矩形的性质列方程即可得到结果.

(1)证明:∵动点E、F同时运动且速度相等,

DF=BE,

∵四边形ABCD是菱形,

∴∠B=D,AD=BC,ABDC,

ADFCBE中,

∴△ADF≌△CBE,

∴∠DFA=BEC,

ABDC,

∴∠DFA=FAB,

∴∠FAB=BEC,

AFCE;

(2)过DDMABM,连接GH,EF,

DF=BE=t,

AFCE,ABCD,

∴四边形AECF是平行四边形,

G、HAF、CE的中点,

GHAB,

∵四边形EGFH是菱形,

GHEF,

EFAB,FEM=90°,

DMAB,

DMEF,

∴四边形DMEF是矩形,

ME=DF=t,

AD=4,DAB=60°,DMAB,

BE=4﹣2﹣t=t,

t=1,

(3)不存在,假设存在某个时刻t,使四边形EHFG为矩形,

∵四边形EHFG为矩形,

EF=GH,

EF2=GH2

解得t=0,0<t<4,

∴与原题设矛盾,

∴不存在某个时刻t,使四边形EHFG为矩形.

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同步练习册答案