Question

1．如图，正方形ABCD的边长为5，点M是边BC上的点，DE⊥AM于点E，BF∥DE，交AM于点F．若E是AF的中点，则DE的长为（　　）

• A． $\sqrt{5}$
• B． 2$\sqrt{5}$
• C． 4
• D． 2$\sqrt{3}$

Answer 1

分析 因为AF=AE+EF，则可以通过证明△ABF≌△DAE，从而得到AE=BF，便得到了AF=BF+EF，再利用勾股定理求出DE的长即可．

解答 证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=AB，∠BAD=90°
∵DE⊥AG，
∴∠DEM=∠AED=90°
∴∠ADE+∠DAE=90°
又∵∠BAF+∠DAE=∠BAD=90°，
∴∠ADE=∠BAF．
∵BF∥DE，
∴∠AFB=∠DEG=∠AED．
在△ABF与△DAE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AFB=∠AED}\\{∠ADE=∠BAF}\\{AD=AB}\end{array}\right.$，
∴△ABF≌△DAE（AAS）．
∴BF=AE，
∵BF∥DE，∠AED=90°
∴∠AFB=90°，
∵E是AF的中点，
∴AE=EF，
又∵BF=AE，
∴BF=EF=AE，
设BF为x，则AF为2x，
∵AB²=AF²+BF²，
∴5²=（2x）²+x²，
解得x=$±\sqrt{5}$（舍去$-\sqrt{5}$），
∴AF=2x=$2\sqrt{5}$，
∵DE=AF，
∴DE=$2\sqrt{5}$，
故选：B．

点评 此题主要考查学生对正方形的性质及全等三角形的判定的掌握情况，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法以及正方形的各种有关性质．