Question

【题目】点E为正方形ABCD边BC上的一点，点G为BC延长线一点，连接AE，过点E作AE⊥EF，且AE=EF，连接CF．

（1）如图1，求证：∠FCG=45°，

（2）如图2，过点D作DH//EF交AB于点H，连接HE，求证：；

（3）如图3，连接AF、DF，若AF交CD于点M，DM=2，BH=3，求DF的长．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）3．

【解析】

（1）过点F作FK⊥CG于点K，证出≌，得到BE=HF，再根据正四边形的性质得到BC=AB=EH，从而计算出EH-EC=BC-EC，即BE=CH，故CH=HF，再根据∠CHF=90°，求出∠FCG=45°；

（2）利用角边角定理证明△DAH≌△ABE，从而得到AH=BE，然后利用勾股定理进行证明；

（3）过点A作AO⊥AM交BC延长线于点O，连接EM，证≌，≌，结合△DAH≌△ABE，证平行四边形HEFD，从而得到DF=HE ，设AH=BE=x，OE=EM=2+x，CM=x+1，然后在Rt△ECM中，利用勾股定理列方程求解．

解：（1）过点F作FK⊥CG于点K，

∵AE⊥EF，

∴∠AEF=90°，

∴∠AEB+∠FEK=90°，

又∵∠BAE+∠AEB=90°，

∴∠FEK=∠EAB，

又∵∠B=∠EKF，

且AE=EF，

∴△ABE≌△EKF，

∴BE=KF，BC=AB=EK，

∴EK-EC=BC-EC，

∴BE=CK，

∴CK=KF．

∴∠FCK=∠CFK=

（2） ∵DH∥EF，AE⊥EF

∴AE⊥DH

∴∠EAD+∠ADH=90°

又∵正方形ABCD中，∠BAD=90°，AD=AB，∠DAB=∠B=90°

∴∠BAE+∠EAD=90°

∴∠BAE=∠ADH

∴△DAH≌△ABE

∴AH=BE

∵在Rt△BHE中，

∴

（3）过点A作AO⊥AM交BC延长线于点O，连接EM．

∵OA⊥AM，

∴∠OAM=90°

又因为正方形ABCD中，AB=AD，∠BAD=∠ABC=∠ADC=90°

∴∠OAM=∠BAD

∴∠OAM-∠BAM=∠BAD-∠BAM

∴∠OAB=∠MAD

∴≌

∴AO=AM

∵AE⊥EF，且AE=EF

∴∠EAM=45°

∴∠MAD+∠BAE=45°

∴∠OAB+∠BAE=45°

∴∠OAE=∠EAM

又∵AE=AE

∴≌

∴OE=EM

由（2）可知△DAH≌△ABE

∴DH=AE

∴DH=EF，且DH//EF

∴四边形HEFD为平行四边形，

∴DF=HE

设AH=BE=x，OE=EM=OB+DE=DM+BE2+x，CM=CD-DM=x+1，

∴在Rt△ECM中，，解得x=3

在Rt△BEH中，

∴DF=3．