Question

【题目】在平面直角坐标系之中，点O为坐标原点，直线分别交x、y轴于点B、A，直线与直线交于点C．

（1）如图1，求点C的坐标．

（2）如图2，点P（t，0）为C点的右侧x轴上一点，过点P作x轴垂线分别交AB、OC于点N、M，若MN=5NP，求t的值．

（3）如图3，点F为平面内任意一点，是否存在y轴正半轴上一点E，使点E、F、M、N围成的四边形为菱形，若存在求出点E坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）C；（2）t=2.4 ； （3）， ， ， ．

【解析】

（1）联立正比例函数与一次函数解析式组成方程组，求出方程组的解得到x与y的值，确定出C点坐标即可；

（2）设P（t，0），则N（t，），M（t，3t），利用两点间距离公式表示出MN，NP的长，然后根据题意列方程求解；

（3）根据t的值求出点M，N的坐标和MN的长度，然后分MN为对角线或MN为边结合菱形的性质和勾股定理进行分情况讨论求解．

解：（1）∵直线与直线交于点C．

∴联立，解得

∴C

（2）设P（t，0），则N（t，），M（t，3t）

MN=3t-（）=， NP=

∵MN=5NP，

∴=5（），

解得t=2.4

（3）经过计算：当t=2.4 时，M（），N（），MN=6，

情况1，以MN为对角线，作MN的垂直平分线交y轴正半轴于点E，

∴MT=NT=3，ET=TF=2.4，

∴此时，即

情况2：以MN为边，点E在点M的下面，，

作⊥MN，∴

在Rt△中，MY=，

∴此时

情况3：以MN为边，点E在点M的上面

同理作⊥MN，解得MW=，

此时 或．