Question

9．在同一平面内，已知点O到直线l的距离为6，以点O为圆心，r为半径画圆．
（1）当r=4时，⊙O上有且只有1个点到直线l的距离等于2；
（2）若⊙O上有且只有2个点到直线l的距离为2，则r的取值范围是4＜r＜8．
（3）随着r的变化，⊙O上到直线l的距离等于2的点的个数有哪些变化？求出相对应的r的值或取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据垂线段最短，则要使⊙O上有且只有一个点到直线l的距离等于2，则该点是点O到直线l的垂线段与圆的那个交点，此时圆的半径6-2=4；
（2）根据点O到直线l的距离为6，要使⊙O上有且只有三个点到直线l的距离等于2，则需要在此直线的两侧分别有一条和该直线的距离是2的直线分别和圆相交、相切．此时圆的半径是6+2=8；
（3）结合上述两种特殊情况即可对此题进行分情况考虑：当0＜r＜4时，或当r=4时，或当4＜r＜8时，或当r=8时，或当r＞8时．

解答 解：（1）r=6-2=4，
故答案为：4；     
（2）4＜r＜8；            
（3）当0＜r＜4时，⊙O上到直线l的距离等于2的点的个数为0，
当r=4时，⊙O上到直线l的距离等于2的点的个数为1，
当4＜r＜8时，⊙O上到直线l的距离等于2的点的个数为2，
当r=8时，⊙O上到直线l的距离等于2的点的个数为3，
当r＞8时，⊙O上到直线l的距离等于2的点的个数为4．

点评 本题考查的是直线与圆的位置关系，解决此类问题可通过比较圆心到直线距离d与圆半径大小关系完成判定．