Question

如图，⊙O₁与y轴切于点C（0，-2），与x轴负半轴交于A、B两点，A（-1，0），双曲线y=

k

x

过点O，点P在双曲线上，PE⊥x轴，垂足为E，求△PEO的面积．

Answer 1

考点：圆的综合题

专题：综合题

分析：作O₁H⊥AB于H，如图，设⊙O₁的半径为r，由于⊙O₁与y轴切于点C，根据切线性质得O₁C⊥y轴，O₁C=r，易判断四边形O₁COH为矩形，所以O₁H=OC=2，OH=O₁C=r，在Rt△AO₁H中，利用勾股定理得到2²+（r-1）²=r²，解得r=

5

2

，则得到点O₁的坐标为（-

5

2

，-2），根据反比例函数图象上点的坐标特征得k=5，即反比例函数解析式为y=

5

x

，然后根据反比例函数k的几何意义即可得到S_△PEO．

解答：解：作O₁H⊥AB于H，如图，设⊙O₁的半径为r，
∵⊙O₁与y轴切于点C，
∴O₁C⊥y轴，O₁C=r，
∴四边形O₁COH为矩形，
∴O₁H=OC=2，OH=O₁C=r，
在Rt△AO₁H中，O₁A=r，AH=OH-OA=r-1，
∵O₁H²+AH²=O₁A²，
∴2²+（r-1）²=r²，解得r=

5

2

，
∴点O₁的坐标为（-

5

2

，-2），
∵双曲线y=

k

x

过点O₁，
∴k=-

5

2

×（-2）=5，
即反比例函数解析式为y=

5

x

，
∴S_△PEO=

1

2

|k|=

5

2

．

点评：本题考查了圆的综合题：熟练掌握圆的切线性质和反比例函数k的几何意义；会利用勾股定理建立等量关系求未知量；理解坐标与图形性质．