Question

如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC边上一点，连接AD并延长，与三角形ABC的外接圆交于点E．
（1）求证：AB²=AD•AE；
（2）若点D在BC的延长线上，上述结论是否仍然成立？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由．

Answer 1

考点：圆周角定理,等腰三角形的性质,相似三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）连接BE，由条件可得∠AEB=∠ABD，可证得△ABD∽△AEB，可得

AB

AE

=

AD

AB

，即AB²=AD•AE；
（2）仍然成立，同理可证得△ABD∽△AEB，可得结论．

解答：（1）证明：连接BE，如图1，

∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，且∠AEB=∠ACB（同弧所对的圆周角），
∴∠AEB=∠ABD，
在△ABD和△AEB中，∠BAD=∠EAB，∠ABD=∠AEB，
∴△ABD∽△AEB，
∴

AB

AE

=

AD

AB

，即AB²=AD•AE；
（2）解：仍然成立，证明如下：
连接BE，如图2，

∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，且∠AEB=∠ACB（同弧所对的圆周角），
∴∠AEB=∠ABD，
在△ABD和△AEB中，∠BAD=∠EAB，∠ABD=∠AEB，
∴△ABD∽△AEB，
∴

AB

AE

=

AD

AB

，即AB²=AD•AE．

点评：本题主要考查圆周角定理和相似三角形的判定和性质，找到∠AEB=∠ABD是解题的关键．证明线段的积相等，把线段积化成比例证明三角形相似是这类问题的解题思路．