Question

如图，设△ABC内切圆I与AB，AC边相切于E，F．射线BI，CI分别交EF于N，M，试证四边形AMIN与△IBC面积相等．

Answer 1

考点：面积及等积变换,四点共圆,等腰三角形的性质,圆的综合题,相似三角形的判定与性质

专题：证明题

分析：连接AI、BM、IE、IG，易证AI⊥EF，IE=IG，IG⊥BC，要证四边形AMIN与△IBC面积相等，只需证IG•BC=MN•IA，由于IE=IG，只需证IE•BC=MN•IA，即证

IE

IA

=

MN

BC

．易证∠BEM=90°+

1

2

∠BAC=∠BIC，则有B、I、M、E四点共圆，从而可得∠BMI=∠BEI=90°，∠IMN=∠EBI=∠IBC，∠MEI=∠MBI，从而可证到△BMI∽△AEI，△MIN∽△BIC，根据相似三角形的性质可得

IE

IA

=

IM

IB

=

MN

BC

，问题得以解决．

解答：证明：连接AI、BM、IE、IG，如图．
∵△ABC内切圆I与AB、AC、BC边相切于E、F、G，
∴AE=AF，AI平分∠EAF，IE⊥AB，IG⊥BC，IE=IG，
∴AI⊥EF，∠EAI=

1

2

∠BAC，∠AEI=90°，
∴∠BEM=∠AHE+∠EAH=90°+

1

2

∠BAC．
∵⊙I是△ABC的内切圆，
∴∠IBC=∠IBA=

1

2

∠ABC，∠ICB=∠ICA=

1

2

∠ACB，
∴∠BIC=180°-（∠IBC+∠ICB）=180°-（

1

2

∠ABC+

1

2

∠ACB）
=180°-

1

2

（∠ABC+∠ACB）
=180°-

1

2

（180°-∠BAC）
=90°+

1

2

∠BAC，
∴∠BEM=∠BIC，
∴B、I、M、E四点共圆，
∴∠BMI=∠BEI=90°，∠IMN=∠EBI=∠IBC，∠MEI=∠MBI，
∴∠AIE=90°-∠IEH=90°-∠IBM=∠MIB．
∵∠AEI=∠BMI=90°，∠MIB=∠AIE，
∴△BMI∽△AEI，
∴

IM

IB

=

IE

IA

．
∵∠IMN=∠IBC，∠MIN=∠BIC，
∴△MIN∽△BIC，
∴

IM

IB

=

MN

BC

∴

IE

IA

=

MN

BC

，
∴IE•BC=MN•IA．
∵IE=IG，
∴IG•BC=MN•IA，
∴

1

2

IG•BC=

1

2

MN•IA，
∴S_△IBC=S_{四边形AMIN}．

点评：本题考查了相似三角形的判定与性质、四点共圆的判定、圆内接四边形的性质、圆周角定理、切线的性质、切线长定理、等腰三角形的性质、三角形的内角和定理、内切圆等知识，综合性比较强，有一定的难度，而证到△BMI∽△AEI及△MIN∽△BIC则有解决本题的关键．