Question

如图，已知正方形ABCD的边长为8，E为AB上一点，点B、C、F在同一条直线上，且AE=CF，当∠EDG为多少度时，存在AE+CG=EG，并证明这个结论．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,正方形的性质

专题：

分析：根据正方形性质得出AD=DC，∠A=∠ADC=∠BCD=∠DCF=90°，证△DAE≌△DCF，推出DE=DF，∠ADE=∠CDF，求出∠GDF=∠EDG，证△EDG≌△FDG，推出EG=GF即可．

解答：答：当∠EDG为45°时，存在AE+CG=EG，
证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=DC，∠A=∠ADC=∠BCD=∠DCF=90°，
在△DAE和△DCF中

AD=DC ∠A=∠DCF AE=CF

∴△DAE≌△DCF，
∴DE=DF，∠ADE=∠CDF，
∵∠ADC=90°，∠EDG=45°，
∴∠ADE+∠CDG=45°，
∴∠GDF=∠CDG+∠CDF=45°=∠EDG，
在△EDG和△FDG中，

DE=DF ∠EDG=∠FDG DG=DG

，
∴△EDG≌△FDG（SAS），
∴EG=GF，
∵GF=CG+CF=CG+AE，
∴AE+CG=EG，
即当∠EDG为45°时，存在AE+CG=EG．

点评：本题考查了正方形的性质，全等三角形的性质和判定的应用，题目比较典型，是一道比较好的题目．