Question

已知点A与点C为x轴上关于y轴对称的两点，点B为y轴负半轴上一点．
（1）如图1，点E在BA延长线，连接EC交y轴于点D，若BE=8，EC=6，CB=4，求△ADE的周长；
（2）如图2，点G为第四象限内一点，BG=BA，连接GC并延长交y轴于F，试探究∠ABG与∠FCA之间有和数量关系？并证明你的结论；
（3）如图3，A（-3，0），B（0，-4），点E（-6，4）在射线BA上，以BC为边向下构成等边△BCM，以EC为边向上构造等腰△CNE，其中CN=EN，∠CNE=120°，连接AN，MN，求证：

AN

MN

=

1

2

．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,坐标与图形性质,三角形内角和定理,等边三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）易证AD=CD，AB=BC，即可求得C_△ADE=EC+EB-BC，即可解题；
（2）连接BC，作BH⊥FG，交FG于点H，如图2，易证∠ABO=∠CBO，设∠CBO=α，则∠ABO=α，∠ACB=90°-α；设∠CBH=β，易求得∠CBH=∠GBH，即可求得∠BCG=90°-β，∠ABG=2（α+β），即可解题；
（3）延长NA到P，使AN=AP，连接PB，PM，如图3，易证△AEN≌△ABP，可得EN=BP，∠NEA=∠2，可求得∠MCN=∠MBP，即可证明△BMP≌△CMN，可得MP=MN，∠CMN=∠BMP，即可判定△PMN为等边三角形，即可解题．

解答：解：（1）∵点C与点A关于y轴对称
∴AD=CD，AB=BC，
∴C_△ADE=ED+AD+EA
=ED+CD+EB-AB
=EC+EB-BC
=8+6-4
=10；
（2）连接BC，作BH⊥FG，交FG于点H，如图2，

∵AO=OC，BO⊥AC，
∴BA=BC．
∴∠ABO=∠CBO，
设∠CBO=α，则∠ABO=α，∠ACB=90°-α．
∵BG=BA，
∴BG=BC．
∵BH⊥FG，
∴∠CBH=∠GBH．
设∠CBH=β，则∠GBH=β，∠BCG=90°-β．
∵∠ABG=2α+2β=2（α+β），
∠FCA=180°-（90°-α）-（90°-β）=α+β．
∴∠ABG=2∠FCA．
（3）延长NA到P，使AN=AP，连接PB，PM，如图3，

在△AEN和△ABP中，

AE=AB ∠EAN=∠BAP AN=AP

，
∴△AEN≌△ABP（SAS），
∴EN=BP，∠NEA=∠2，
∵CN=EN，∠CNE=120°，
∴∠NEC=∠NCE=30°，
设∠1=m°，∠EBC=n°，
∴∠MCN=∠NCE+180-m°-∠EBC+60=270°-m°-n°
又∠MBP=360°-60°-∠2-∠EBC=270°-m°-n°，
∴∠MCN=∠MBP，
在△BMP和△CMN中，

BP=CN ∠MCN=∠MBP BM=CM

，
∴△BMP≌△CMN（SAS），
∴MP=MN，∠CMN=∠BMP，
∴∠PMN=60°，
∴△PMN为等边三角形，
∴PN=MN，
∴

AN

MN

=

1

2

．

点评：本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边、对应角相等的性质，本题中求证△AEN≌△ABP和△BMP≌△CMN是解题的关键．