Question

【题目】如图，已知抛物线经y＝ax2+bx﹣3过A（1，0）、B（3，0）、C三点．

（1）求抛物线解析式；

（2）如图1，点P是BC上方抛物线上一点，作PQ∥y轴交BC于Q点．请问是否存在点P使得△BPQ为等腰三角形？若存在，请直接写出P点坐标；若不存在，请说明理由；

（3）如图2，连接AC，点D是线段AB上一点，作DE∥BC交AC于E点，连接BE．若△BDE∽△CEB，求D点坐标．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x2+4x﹣3；（2）存在点P使得△BPQ为等腰三角形，P点坐标为P1（1，0），P2（2，1），；（3）.

【解析】

（1）利用待定系数法求解可得抛物线的表达式；

（2）先求出直线的解析式，分三种情况：当时，设，可表示出三条线段长，则解方程可求出P点坐标；

（3）证得可得比例线段求出AE长，当时可求出D点坐标．

（1）将 代入 得： ，

解得 ，

抛物线解析式；

（2）存在点P使得△BPQ为等腰三角形，

∵B（3，0），C（0，﹣3），

∴设直线BC的解析式为，

∴ ，

解得： ，

∴直线BC的解析式为，

设，则，可分三种情况考虑：

①当时，由题意得P、Q关于x轴对称，

∴，

解得：（舍去），

∴ ，

②当时， ，

∴ ， （舍去）， ，

∴，

③当时，有 ，

整理得： ，

解得 ．

∴ ．

综合以上可得P点坐标为P1（1，0），P2（2，1），；

（3）∵△BDE∽△CEB，

∴∠ABE＝∠ACB，

∵∠BAE＝∠CAB，

∴△ABE∽△ACB，

又∵ ，

∴

∴

∴

∵ ，

∴

∴

∴

∴ .