Question

【题目】如图，中，点与点在的同侧，且．

（1）如图1，点不与点重合，连结交于点．设求关于的函数解析式，写出自变量的取值范围；

（2）是否存在点，使与相似，若存在，求的长；若不存在，请说明理由；

（3）如图2，过点作垂足为．将以点为圆心，为半径的圆记为．若点到上点的距离的最小值为，求的半径．

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在，；（3）或

【解析】

（1）由AE⊥AC，∠ACB=90°，可得AE∥BC，然后由平行线分线段成比例定理，求得y关于x的函数解析式；
（2）由题意易得要使△PAE与△ABC相似，只有∠EPA=90°，即CE⊥AB，然后由△ABC∽△EAC，求得答案；
（3）易得点C必在⊙E外部，此时点C到⊙E上点的距离的最小值为CE-DE．然后分别从当点E在线段AD上时与当点E在线段AD延长线上时，去分析求解即可求得答案．

解：

，而与都是锐角，

要使与相似，只有，

即

此时，则，

故存在点，使，

此时

点必在外部，

此时点到上点的距离的最小值为

设

①当点在线段 上时，

解得：

即的半径为

②当点在线段延长线上时，

解得：

即的半径为

的半径为或