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【题目】如图1,抛物线yax2+bx+ca≠0)的顶点为C(14),交x轴于AB两点,交y轴于点D,其中点B的坐标为(30)

1)求抛物线的解析式;

2)如图2,点P为直线BD上方抛物线上一点,若,请求出点P的坐标.

3)如图3M为线段AB上的一点,过点MMNBD,交线段AD于点N,连接MD,若DNM∽△BMD,请求出点M的坐标.

【答案】1y=-x2+2x+3;(2)点P的坐标为(1,4)或(2,3);(3)点M的坐标为(0.

【解析】

1)设抛物线的解析式为:y=ax-12+4,然后将点B的坐标代入函数解析式即可求得此抛物线的解析式;
(2)如图2,过点PPQ//y轴交DBQ,求出直线BD的解析式,设P(m, -m2+2m+3),则Q(m,-m+3),得到SPBD =-m2+m,又,解方程求出m的值,再求点P的坐标即可;

(3)M(c,0),由△AMN∽△AMD,得到,得出MN=DM=,再由DNM∽△BMD,得到,即9+c2=×,求解即可的出答案.

1)设所求抛物线的解析式为:y=ax-12+4

将点B30)代入,得:(3-12a+4=0

解得:a=-1

∴解析式为:y=-x-12+4=-x2+2x+3

(2)如图2,过点PPQ//y轴交DBQ


∵抛物线的解析式为y=-x2+2x+3

∴点D的坐标为(0,3),

设直线BD的解析式为y=kx+b,

D(0,3)B(3,0)代入y=kx+b得,

解得:

∴直线BD的解析式为y=-x+3,

P(m, -m2+2m+3),则Q(m,-m+3)
PQ=-m2+2m+3(-m+3)= -m2+3m,
又∵SPBD=SPQD+SPQB
=mPQ+ (3m)PQ=PQ×3=m2+m
,

-m2+m=3

解得:m1=1,m2=2,
∴点P的坐标为(1,4)或(2,3

(3) BD=,M(c,0),

MNBD,

∴△AMN∽△AMD,

,

MN=DM=

DNM∽△BMD

,DM2=BD·MN,

9+c2=×,

解得:c=c=3(舍去)

∴点M的坐标为(0.

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