Question

【题目】如图，在⊙O中，点A是劣弧BC的中点，点D是优弧BC上一点，且sinD＝，求证：四边形ABOC为菱形．

Answer 1

【答案】证明见解析

【解析】

由垂径定理的推论求得∠AEB＝90°，然后解直角三角形求得∠ABE＝30°，然后由圆周角定理得到∠BAE＝60°，从而判定△AOB是等边三角形，得到OA＝AB＝OB，然后由垂径定理求得AC＝AB，从而根据四边相等的四边形是菱形即可判断．

解：∵点A是劣弧BC的中点，

∴OA⊥BC，

∴∠AEB＝90°，

∵∠D＝∠ABE，

∴sin∠D＝sin∠ABE＝＝，

∴∠ABE＝30°，

∴∠BAE＝60°，

∵OA＝OB，

∴△AOB是等边三角形，

∴OA＝AB＝OB，

∵OA⊥BC，

∴

∴AC＝AB，

∴AC＝OC＝OB＝AB，

∴四边形ACOB是菱形．