Question

【题目】将大小两把含30°角的直角三角尺按如图1 位置摆放，即大小直角三角尺的直角顶点C 重合，小三角尺的顶点 D、E 分别在大三角尺的直角边 AC、BC 上，此时小三角尺的斜边 DE 恰好经过大三角尺的重心G .已知A CDE 30°， AB 12 .

（1）求小三角尺的直角边CD 的长；

（2）将小三角尺绕点C 逆时针旋转，当点D第一次落在大三角尺的边 AB 上时（如图2），求点 B 、 E 之间的距离；

（3）在小三角尺绕点C 旋转的过程中，当直线 DE 经过点 A 时，求BAE 的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）CD=4；（2）；（3）或

【解析】

(1)求出BC，AC,利用重心即可解答.

(2) 做CH⊥AB于H，根据条件求出AD，利用三角形相似即可解答.

(3)分类讨论DE在AC下方和DE在AC上方时的情况，利用勾股定理即可解答.

解：（1）根据题意得BC=6，AC=6，

由重心性质可得,

可得CD=4.

(2)做CH⊥AB于H，

可得BH=3，CH=3，AH=9，

∵CD=4，即DH==.

∴AD=9-.

∵∠ACD=∠BCE，，

所以△ACD∽△BCE，

所以，即BE=3-.

(3)①DE在AC下方时：△ACD∽△BCE，

得∠BED=∠ADC=∠DCE+∠CED，，

∴∠AEB=∠DCE=90°，设BE=x,AD=x,

在Rt△ABE中，，

可得x=4-2.

所以sin∠BAE==.

②DE在AC上方时，

同理，

∠BEC+∠DEC=∠D+∠DEC=90°，

∴∠AEB=90，

设BE=x,AD=x,AE=x-8,

在直角三角形ABE中，，

解得x=4+2,

所以sin∠BAE=.

故BAE 的正弦值.为或.