Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+5与x轴交于点B，与y轴交于点C．抛物线y＝x2+bx+c经过点B和点C，与x轴交于另一点A，连接AC．

（1）求抛物线的解析式；

（2）若点Q在直线BC上方的抛物线上，连接QC，QB，当△ABC与△QBC的面积比等于2：3时，直接写出点Q的坐标：

（3）在（2）的条件下，点H在x轴的负半轴，连接AQ，QH，当∠AQH＝∠ACB时，直接写出点H的坐标．

Answer 1

【答案】（1）y＝x2﹣6x+5；（2）点Q（﹣1，12）或（6，5）；（3）点H的坐标为：（﹣19，0）或（﹣，0）．

【解析】

（1）直线y=-x+5与x轴交于点B，与y轴交于点C，则点B、C的坐标分别为：（5，0）、（0，5），即可求解；

（2）过点A作直线BC的平行线n交y轴于点M，则点M（0，1），则CM=5-1=4，在点C上方取CN=CM=6，过点N作直线m交抛物线于点Q（Q′），则点Q为所求，即可求解

（3）分点Q（6，5）、点Q（-1，12）两种情况，分别求解即可．

解：（1）直线y＝﹣x+5与x轴交于点B，与y轴交于点C，则点B、C的坐标分别为：（5，0）、（0，5），则c＝5，将点B的坐标代入抛物线表达式并解得：b＝﹣6，

故抛物线的表达式为：y＝x2﹣6x+5；

（2）过点A作直线BC的平行线n交y轴于点M，则点M（0，1），则CM＝5﹣1＝4，

在点C上方取CN＝CM＝6，过点N作直线m交抛物线于点Q（Q′），则点Q为所求，

则点N（0，11），则直线m的表达式为：y＝﹣x+11…②，

联立①②并解得：x＝﹣1或6，

故点Q（﹣1，12）或（6，5）；

（3）过点A作AK⊥BC于点K，

AB＝4，则AK＝BK＝，AC＝，

则sin∠ABC＝＝sinα，则tanα=；

①当点Q（6，5）时，

过点H作HR⊥AQ交QA的延长线于点R

由点A、Q的坐标知，tan∠QAB＝1＝tanβ，故β＝45°，AQ＝5，

则HR＝AR＝x，tan∠HQR＝tanα＝，

解得：x＝10，AH＝x＝20，

故点H（﹣19，0）；

②当点Q（﹣1，12）时，

同理可得：点H（﹣，0）；

综上，点H的坐标为：（﹣19，0）或（﹣，0）．