Question

【题目】如图，抛物线y=ax2+bx+c（a＜0，a、b、c为常数）与x轴交于A、C两点，与y轴交于B点，A（﹣6，0），C（1，0），B（0，）．

（1）求该抛物线的函数关系式与直线AB的函数关系式；

（2）已知点M（m，0）是线段OA上的一个动点，过点M作x轴的垂线l，分别与直线AB和抛物线交于D、E两点，当m为何值时，△BDE恰好是以DE为底边的等腰三角形？

（3）在（2）问条件下，当△BDE恰妤是以DE为底边的等腰三角形时，动点M相应位置记为点M'，将OM'绕原点O顺时针旋转得到ON（旋转角在0°到90°之间）；

①探究：线段OB上是否存在定点P（P不与O、B重合），无论ON如何旋转，始终保持不变，若存在，试求出P点坐标：若不存在，请说明理由；

②试求出此旋转过程中，（NANB）的最小值．

Answer 1

【答案】yx2x，直线AB的解析式为：yx；（2）当m=﹣4时，△BDE恰好是以DE为底边的等腰三角形；（3）①存在，P（0，3）；②．

【解析】

（1）根据A和C的坐标设出两点式，再代入点B的坐标，即可求出抛物线的解析式；设直线AB的解析式为y=kx+n，将A和B的坐标代入求解，即可得出直线AB的解析式；

（2）根据点M的坐标写出点D的坐标，作BG⊥DE于点D得出GM=OB，代入求解即可得出答案；

（3）①假设存在，证出△NOP∽△BON得出即可得出答案；②结合①得出（NANB）的最小值=NA+NP，此时N，A，P三点共线，计算即可得出答案.

解：（1）设抛物线解析式为y= a(x+6)(x﹣1)，（a≠0）．

将B（0，）代入，得a(x+6)(x﹣1)，

解得：a，

∴该抛物线解析式为y（x+6）（x﹣1）或yx2x．

设直线AB的解析式为y=kx+n（k≠0）．

将点A（﹣6，0），B（0，）代入，得

，

解得，

则直线AB的解析式为：yx；

（2）∵点M（m，0），过点M作x轴的垂线l分别与直线AB和抛物线交于D、E两点，∴D（m，m），

当DE为底时，如图1，作BG⊥DE于G，则EG=GDED，GM=OB，

∵DM+DG=GM=OB，

∴m(m2mm)，

解得：m1=﹣4，m2=0（不合题意，舍去），

∴当m=﹣4时，△BDE恰好是以DE为底边的等腰三角形；

（3）①存在，如图2．

∵ON=OM'=4，OB，

∵∠NOP=∠BON，

∴当△NOP∽△BON时，，

∴不变，

即OPON4=3，

∴P（0，3）；

②∵N在以O为圆心，4为半径的半圆上，由①知，，

∴NPNB，

∴（NANB）的最小值=NA+NP，

∴此时N，A，P三点共线，

∴（NANB）的最小值3．