Question

【题目】如图，正方形的边长为2，点为坐标原点，边、分别在轴、轴上，点是的中点.点是线段上的一个点，如果将沿直线对折，使点的对应点恰好落在所在直线上.

（1）若点是端点，即当点在点时，点的位置关系是________，所在的直线是__________；当点在点时，点的位置关系是________，所在的直线表达式是_________；

（2）若点不是端点，用你所学的数学知识求出所在直线的表达式；

（3）在（2）的情况下，轴上是否存在点，使的周长为最小值？若存在，请求出点的坐标：若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】(1)A，y轴；B，y=x；（2）y=3x；(3)存在.由于，理由见解析．

【解析】

(1)由轴对称的性质可得出结论；
(2)连接OD，求出OD=，设点P(，2)，PA′=，PC=，CD=1．可得出()2=(2)2+12，解方程可得解x=．求出P点的坐标即可得出答案；
(3)可得出点D关于轴的对称点是D′(2，-1)，求出直线PD′的函数表达式为，则答案可求出．

(1)由轴对称的性质可得，若点P是端点，即当点P在A点时，A′点的位置关系是点A，
OP所在的直线是y轴；
当点P在C点时，
∵∠AOC=∠BOC=45°，
∴A′点的位置关系是点B，
OP所在的直线表达式是y=x．
故答案为：A，y轴；B，y=x；
(2)连接OD，

∵正方形AOBC的边长为2，点D是BC的中点，
∴OD=．
由折叠的性质可知，OA′=OA=2，∠OA′D=90°．
∵OA′=OA= OB=2，OD公共，

∴()，

∴A′D=BD=1．
设点P(，2)，则PA′=，PC=，CD=1，
∴，即()2=()2+12，
解得：．
所以P(，2)，

设OP所在直线的表达式为，

将P(，2)代入得：，

解得：，
∴OP所在直线的表达式是；
(3)存在．

若△DPQ的周长为最小，
即是要PQ+DQ为最小，

作点D关于x轴的对称点是D′，

连接D′P交x轴于点Q，此时使的周长取得最小值，

∵点D关于x轴的对称点是D′(2，)，
∴设直线PD'的解析式为，
，
解得，
∴直线PD′的函数表达式为．
当时，．
∴点Q的坐标为：(，0)．